定义： 对于n阶方阵A，若任意n阶非零向量x(x里面的元素不能全为0)，都有xTAx>0，则称A是正定阵。 若条件变成xTAx≥0，则A称作半正定阵 &nb
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2024-05-08 21:53:32
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一、基本概念1.1、标量函数的定号性定义1-1：若V(0)=0，且对任意非零x，，称标量函数正定（半正定）；定义1-2：若是正定（半正定）的，称标量函数负定（半负定）；定义1-3：正定和半正定（负定和半负定）统称为非负定（非正定），无任何定号性称为不定。注意：（1）V(0)=0是定号性的必要条件。在不引起混淆时，可直接用表示正定，其余类推；（2）定号性可以是原点邻域上的局部性质，如：标量函数在域上
判断正定矩阵 给出一个矩阵： 有4个途径可以判定该矩阵是否是正定矩阵（注意这个矩阵的4个元素中有2个b，这是因为正定矩阵是对称矩阵，如果A的次对角线的元素不相等，A就不是对称的，也就没有必要进一步判定是否是正定的）：所有特征值大于0，λ1>0，λ2>0行列式及左上角的所有k阶子行列式均为正（1≤k≤n）a > 0, ac – b2 > a （针对2阶矩阵）对于任意非零向
目录1 前言2 定义3 从几何的角度理解4 参考文献 1 前言 内容为自己的学习总结，其中多有借鉴他人的地方，最后一并给出链接。2 定义 在机器学习和谱图理论的学习中，总会用到正定矩阵半正定矩阵概念，了解它们的概念是十分必要的。 定义：正定矩阵（positive definite, PD） 给定一个大小为的实对称矩阵，若对于任意长度为的非零向量 ，有恒成立，则矩阵是一个正定矩阵。定义：半
最优化随着大数据的到来，并行计算的流行，实际上机器学习领域的很多研究者会把重点放在最优化方法的研究上，如large scale computation。那么为什么要研究最优化呢？我们先从机器学习研究的目的说起。机器学习理论主要是设计和分析一些让计算机可以自动“学习”的算法，这些算法可以从数据中自动分析获得规律，并利用规律对未知数据进行预测，并可用于发现数据之间隐藏的关系，解释某些现象的发生。至于为
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2024-07-27 10:34:42
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矩阵分解是指根据一定的原理用某种算法将一个矩阵分解成若干个矩阵的乘积。常见的矩阵分解有可逆方阵的三角（LU）分解、满秩方阵的正交三角（QR）分解、对称正定矩阵的Cholesky分解，以及任意方阵的Schur分解、Hessenberg分解、EVD分解、任意矩阵SVD分解、GMD分解等。(1) 可逆方阵的LU分解矩阵的LU分解就是将一个矩阵表示为一个交换下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积形式。线性代数中
本来这一章应该接着上一章进行优化算法的介绍的。但是，后来我发现接下去的很多算法都是与海森矩阵紧密相关的，所以在这一章先介绍海森矩阵，牛顿算法这些，然后再接着介绍剩余的优化算法。话不多说，下面开始：1、海森矩阵 Hessian Matrix 海森矩阵是一个自变量为向量的实值函数的二阶偏导数组成的方块矩阵，函数为：
海森矩阵和牛顿法密切相关。可以利用海森矩阵进行多元函数的极值判断。参考：2、
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2024-03-29 08:33:45
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转载自：数学中最优化问题的一般表述是求取，使，其中是n维向量，是的可行域，是上的实值函数。凸优化问题是指是闭合的凸集且是上的凸函数的最优化问题，这两个条件任一不满足则该问题即为非凸的最优化问题。其中，是 凸集是指对集合中的任意两点，有，即任意两点的连线段都在集合内，直观上就是集合不会像下图那样有“凹下去”的部分。至于闭合的凸集，则涉及到闭集的定义，而闭集的定义又基于开集，比较抽象，不赘述
最优化基础理论和知识——1.2&&1.3一部分在考虑最优化问题时，往往需要用到点列和极限的概念，点是代数中线性空间的元素，极限依赖于点与点的距离，距离又与欧式空间有关。所以从三个概念出发。1.1线性空间向量空间亦称线性空间。它是线性代数的中心内容和基本概念之一。设V是一个非空集合，P是一个域。若：1.在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟
如果一个矩阵的列向量都是正交的，并且长度为1.那么这个矩阵叫做正交矩阵. 正交矩阵可谓性质各种好啊！。 这一讲介绍标准正交基，以及如何将一个普通矩阵"变成"正交矩阵。标准正交向量(Orthonormal vectors)标准正交向量指的是有一组 满足： 换句话说，这组向量互相两两垂直并且每个向量长度为1.， 自己和自己点乘等于1， 和别人点乘都等于0.
1、对称矩阵 矩阵 3、Hermite矩阵 4、复共轭转置 Hermite阵是对称阵概念的推广，对称阵针对实矩阵（矩阵元素均为实数），Hermite阵针对复矩阵。5、正交矩阵 6、酉矩阵 类似于Hermite阵相对于对
正定矩阵所有的二次齐次都唯一对应一个对称矩阵A，所有的齐次二次式都可以表示
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2022-12-04 08:10:26
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正定矩阵(PD): 给定一个大小为 \(n\times n\) 的实对称矩阵 \(A\) ，若对于任意长度为 \(n\) 的非零向量 \(X\)，有 \(X^TAX>0\) 恒成立，则矩阵 \(A\) 是一个正定矩阵。 半正定矩阵(PSD) 给定一个大小为 \(n\times n\) 的实对称矩阵
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2020-04-11 21:42:00
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1. Jacobian在向量分析中, 雅可比矩阵是一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵, 其行列式称为雅可比行列式. 还有, 在代数几何中, 代数曲线的雅可比量表示雅可比簇：伴随该曲线的一个代数群, 曲线可以嵌入其中. 它们全部都以数学家卡尔·雅可比(Carl Jacob, 1804年10月4日－1851年2月18日)命名；英文雅可比量”Jacobian”可以发音为[ja ˈko bi ən]或者[ʤ
1.AX=bA\b或者inv(A)*b一、 特殊矩阵的实现常见的特殊矩阵有零矩阵、幺矩阵、单位矩阵、三角形矩阵等，这类特殊矩阵在线性代数中具有通用性；还有一类特殊矩阵在专门学科中有用，如有名的希尔伯特(Hilbert)矩阵、范德蒙(Vandermonde) 矩阵等。1.零矩阵:所有元素值为零的矩阵称为零矩阵。零矩阵可以用zeros函数实现。zeros是MATLAB内部函数，使用格式如下：zeros
首先，关于最优化问题。一直理解不到位，今天终于醍醐灌顶。最优化问题，其实降维之后，就是一元方程的求极值问题。例如，一个一元二次函数， ,求其极小值。显然，高等数学的方法为先求其一阶导数，一阶导为0的点，即是驻点。再求驻点处的二阶导数，假如二阶导数大于零，则该点极小值，假如二阶导小于零，则为极大值。若=0，则不是极值。将该一元方程推广到多元二次方程。其实就是到了数字信号处理或数字图像处理上了，或者是
说明：本公式只针对在二维或三通道的计算机视觉中所遇到的问题，不代表传统意义上数学知识点范围。行列式行列式概念:矩阵的行列式，称之为det，是基于矩阵所包含的行列数据计算得到的标量。本质上是一个数。1：二阶行列式计算2：三阶行列式计算3：高阶行列式计算:高阶行列式计算比较复杂。对于三通道未进行压缩的图像而言，描述该图像的矩阵所计算的det甚至手动计算是几乎不可能的，故在这里不再赘述。4：特殊形式行列
1 基本的定义 正定和半正定这两个词的英文分别是 positive definite 和 positive semi-definite，其中，definite是一个形容词，表示“明确的、确定的”等意思。 【定义1】 给定一个大小为 $n \times n$ 的实对称矩阵 $A$ ，若对于任意长度为 ...
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2021-09-21 20:25:00
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在众多的机器学习模型中，线性代数的身影无处不在，当然，我们也会时常碰到线性代数中的正定矩阵和半正定矩阵。例如，多元正态分布的协方差矩阵要求是半正定的。 × × 1. 基本的定义 正定和半正定这两个词的英文分别是positive definite和positive semi-definite，其中，d
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2023-01-09 17:18:18
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