引言
线性代数可以说是噩梦，今天一位巨佬说学习线性代数就是从抽象入门再到具体，最后再回归抽象的过程，所以我决定再失败一次。
今天的例子，对于矩阵乘法比如下式：
$\begin{bmatrix}
\ 1 & 2 \
\ 2 & 0 \
\ 4 & 3
\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}
\ 1 & 3 & 2\
\ 2 & 4 & 1
\end{bmatrix}$= $\begin{bmatrix}
\ 5 & 11&3 \
\ 2 & 6&2 \
10 &24&7\
\end{bmatrix}$
$(A)$ $(B)$ $(C)$
它可以用四种理解方式来理解：单元素乘积表示、列向量表示、行向量表示以及行列乘积表示。
正文
1. 单元素乘积表示
对于C矩阵中的第二行第二列元素$C_{22}$而言:
$C_{22} = A_{21}*B_{12} + A_{22}*B_{22}$
也就C当中(2,1)的元素其实对应的是A中的(2,1)和B中的(1，2)相乘
这可以帮助我们理解
矩阵元素的拆解
2. 行向量表示
可以将C矩阵用看作是A矩阵的行向量线性表示：
$\begin{bmatrix}
\ \dots & \dots \
\ 2 & 0 \
\ \dots & \dots &
\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}
\ 1 & 3 & 2\
\ 2 & 4 & 1
\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}
\ & \cdots& \
\ 2 & 6&2 \
\ & \cdots &\
\end{bmatrix}$
$(A_{2i}(i=1,2))$ $(B)$ $(C)$
即 矩阵A的第2行元素和矩阵B相乘后会得到C矩阵当中的第2行元素，即C矩阵可以由A矩阵的行向量来线性表出(示)
这可以帮助我们理解
矩阵的横向拆解
3. 列向量表示
同理，也可以将C矩阵用看作是B矩阵的列向量的线性表示：
$\begin{bmatrix}
\ 1 & 2 \
\ 2 & 0 \
\ 4 & 3
\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}
\ \vdots & 3 & \vdots\
\ \vdots & 4 & \vdots
\end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix}
\ & 11 & \
\ \vdots & 6&\vdots \
\ & 24 &\
\end{bmatrix}$
$(A)$ $(B_{j2}(j=1,2))$ $(C)$
即矩阵A和 矩阵B的第2列元素相乘后会得到C矩阵当中的第2列元素，即C矩阵可以由B矩阵的列向量来线性表出(示)
这可以帮助我们理解
矩阵的纵向拆解
4. 行列乘积表示
最重要的莫过于结合行列来理解矩阵乘法，结合上面的知识， $3\times2$ 的 A矩阵可以被拆解为一个3维列向量和一个2维行向量相乘，同理，矩阵B可以被理解为一个2维行向量和一个3维列向量相乘，对应的，C可以被理解为一个3维行向量和一个3维列向量相乘。
原式可以被理解为：
$\begin{bmatrix}
\ 1 & 2 \
\ 2 & 0 \
\ 4 & 3
\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}
\ 1 & 3 & 2\
\ 2 & 4 & 1
\end{bmatrix}$= $\begin{bmatrix}
\ 5 & 11&3 \
\ 2 & 6&2 \
10 &24&7\
\end{bmatrix}$ $\Longrightarrow$ $\begin{bmatrix}\alpha_1\\alpha_2\\alpha_3\\end{bmatrix}$$\begin{bmatrix}\beta_1\beta_2\beta_3\\end{bmatrix}= C$
$(A)$ $(B)$ $(C)$
可以看到此时C矩阵通过另外的方式被表示出来了，更为简单和直观。
这可以帮助我们理解
矩阵的分解
补充
1.矩阵乘向量
矩阵乘向量本质为列的线性组合，如：
$\begin{bmatrix}2&3\2&4\3&7\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x_1\x_2\end{bmatrix} = x_1\begin{bmatrix}2\2\3\end{bmatrix} + x_2\begin{bmatrix}3\4\7\end{bmatrix}$
2. 矩阵乘矩阵
先分解相乘再相加 $\begin{bmatrix}1&0\3&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}2&4\5&0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1\3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&4\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2&4\ 6& 12\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&0\0&5\end{bmatrix}$
可以帮助理解奇异值分解
附录: python实现矩阵相乘
矩阵相乘可以使用numpy当中的dot方法，它可以完成向量内积的计算和矩阵相乘。
import numpy as np
A = np.array([[1,2],[2,0],[4,3]])
B = np.array([[1,3,1],[2,4,1]])
print(np.dot(A, B))
- 输出结果
>>> [[ 5 11 3]
>>> [ 2 6 2]
>>> [10 24 7]]
