1. 考虑一个长宽高均为1的正方体体积，它的值与单位阵的行列式值相等；

  2. 考虑两个体积为1的正方体拼接成的长方体体积，它的值等于2倍单位阵的行列式的值；

  3. 再考虑平行六面体与矩阵行列式的关系

首先考虑底部平行四边形的计算， 如果用矩阵求解下面平行四边形的面积 image.png

由初中的数学知识我们知道：$S_{平行四边形ABCD} = |\vec{AB} \times \vec{AC}| = |(x_2, y_2)\times (x_3, y_3)|$，如果A不与原点重合，如下图：

image.png

有：$S_{平行四边形ABCD} = |\vec{AB} \times \vec{AC}|=|(x_2-x_1, y_2-y_1)\times (x_3-x_1, y_3-y_1)|$，而如果用矩阵的行列式表示：

$\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\x_2&y_2&1\x_3&y_3&1\end{vmatrix} = \begin{vmatrix}x_1&y_1&1\x_2−x_1&y_2−y_1&0\x_3−x_1&y_3−y_2&0\end{vmatrix}$（注意最终值应该是行列式值得绝对值）

同理，求解三角形的面积只需要除以二即可

进一步的，求平行六面体的体积(【本部分参考链接】)

image.png

与求面积的公式类似的:

1.如果平行六面体有一个顶点在坐标原点，那么体积为下面行列式的绝对值: $\begin{bmatrix}x_1&y_1&z_1\x_2&y_2&z_2\x_3&y_3&z_3\end{bmatrix}$

2.如果平行六面体没有一个顶点在坐标原点，那么体积为下面行列式的绝对值:

$\begin{bmatrix}x_1&y_1&z_1&1\x_2&y_2&z_2&1\x_3&y_3&z_3&1\x_4&y_4&z_4&1\end{bmatrix}$

注意: 由于|A|=|AT|,所以你将上述坐标点竖着放也可以，这个在后面的习题有所体现。