【本文转载自：线性代数中四个基本子空间 (The Four Fundamental Subspaces)，略有修改】

线性代数中四个基本子空间为：列向量空间 (column space), 行向量空间 (row space), 零空间 (nullspace), 和左零空间 (left nullspace)

对于m行n列的矩阵A而言

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1.列向量空间($C(A)$)

包含矩阵A所有列的线性组合的空间，即：

image.png 由于矩阵A每一列含有m个元素，因此列向量空间为 $R^m$ 子空间。

  1. 行向量空间($C(A^T)$)

包含矩阵A所有行的线性组合，为了方便计算，一般是对A转置($A^T$)后观察列向量,即：

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由于转置矩阵$A^T$每一列含有n个元素，所以行向量空间为$R^n$子空间。

  1. 零向量空间(N(A))

    包含所有 $A\vec{x} = 0$ 的解 $\vec{x}$ ，由于 $\vec{x}$ 有$n$个元素，因此零空间为 $R^n$ 子空间。

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因此：零空间垂直于行空间。

  1. 左零空间(N($A^T$))

包含所有 $A^T\vec{y} = 0$的解 $\vec{y}$ ,由于 $\vec{y}$有$m$个元素，因此左零空间为 $R^m$ 子空间。

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因此：左零空间垂直于列空间。

  1. 汇总图 image.png

当矩阵A秩(rank)为r时，也就是线性无关列的个数为r，即列空间维度(dimension)为r（列空间基的个数），这是矩阵秩的物理意义。由于线性无关列的数量=线性无关行的数量，因此行秩=列秩。