1.特征值的直观理解
特征值，表示一个矩阵的向量被
拉伸或压缩的程度。
先从直观上理解，以索大哈哈大笑的图像为例，水平方向分量为$x_1$，垂直方向分量为$x_2$:
图1 ——> 图2：图片垂直方向没变，水平方向压缩为原来的一半，即此过程水平方向的特征值缩小为原来的一半：$\lambda = 1/2$；图2 ——> 图3：图片水平方向没变，垂直方向变化同上，即：$\lambda = 1/2$；图3 ——> 图4：图片水平旋转了180度，即：$\lambda = -1$。
这里简单考虑了水平方向和垂直方向的简单变化。
这一过程的表达式为：$Ax = \lambda x$，即一个向量（或函数）被矩阵相乘，表示对这个向量做了一个线性变换。如果变换后还是这个向量本身乘以一个常数，这个常数就叫特征值。
接下来正式考虑矩阵的特征值。
2.投影矩阵的特征值
首先考虑投影矩阵，对投影矩阵$P$而言：
- 对
正处于投影平面的任意向量$x_1$而言有$Px_1=x_1$，即$\lambda=1$； - 对
垂直于投影平面的任意向量$x_2$而言有$Px_2=0$，即$\lambda=0$。
综上即：即投影矩阵的特征值为0或者1。
3.特征值求法
如何求解$Ax = \lambda x$?
思想：转化为求解方程组的问题：$(\lambda E-A) x= 0$
这里由于$x \neq 0$，所以矩阵$\lambda E- A$必须是奇异的（不可逆的），其对应的行列式$|\lambda E-A|=0$被称为特征（值）方程，而$\lambda E - A$则被称作特征多项式。
求矩阵$A =\begin{bmatrix}3&1\1&3\end{bmatrix}$的特征值和特征向量：
- 首先构造特征方程： $\begin{vmatrix}\lambda-3&1\1&\lambda-3\end{vmatrix} = (\lambda -3)^2 - 1 = \lambda^2 -6\lambda + 8 = (\lambda-2)(\lambda -4)=0$
可以解得：$\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 4$
而最终化简得到的关于$\lambda$的表达式中，其实
6表示迹，8表示行列式的值。
特征值还有一点猫腻：
-
特征值之和等于迹 $\sum_{i=1}^n \lambda_{i} = \sum_{i}^n a_{ii}(即tr(A))$
-
特征值乘积等于对应方阵行列式的值 ，即$\prod_{i=1}^n \lambda_{i} = |A|$
- 求解特征向量
即将$\lambda$ 重新待会特征多项式当中求解基础解系即可，此处不做阐述。
4.特征值的幂
对于矩阵A左乘一个可逆特征向量矩阵S：
$AS = A \begin{bmatrix} \vdots & \vdots &\vdots & & \vdots & \ x_1&x_2&x_3&\dots&x_n\\vdots & \vdots &\vdots & & \vdots \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \vdots & \vdots &\vdots & & \vdots & \ \lambda_1x_1&\lambda_2x_2&\lambda_3x_3&\dots&\lambda_nx_n\\vdots & \vdots &\vdots & & \vdots \end{bmatrix} =$ 由$Ax=\lambda x$，可以将矩阵A转化为对角阵
$\begin{bmatrix} \vdots & \vdots &\vdots & & \vdots & \ x_1&x_2&x_3&\dots&x_n\\vdots & \vdots &\vdots & & \vdots \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 &0 &\dots& 0 & \ 0&\lambda_2&0&\dots&0\\vdots & \vdots &\vdots &\dots & \vdots \0&0&0&\dots&\lambda_n\end{bmatrix}$ = $S\Lambda$
得到$AS = S\Lambda$，即$S^{-1}AS = \Lambda$，也即$A = S\Lambda S^{-1}$ 对于$Ax = \lambda x$:
- 如果A矩阵加减m个单位阵，有$(A+mE)x = Ax+mx = \lambda x +mx = (\lambda+m)x$
特征值的改变与加减的m有关
- 如果A矩阵变为$A^2$，即可以通过两种方式
- $A^2x = \lambda Ax = \lambda^2 x$
- $A^2x = S\Lambda S^{-1}S\Lambda S^{-1} = S\Lambda^2S^{-1}$
特征向量没有改变，但是特征值变成了平方 特征值的应用十分的广泛，后面会争取写一些实际运用的案例。
