python 中tail python中泰勒级数

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mob64ca14116c53 2024-03-13 21:52:09

文章标签 python 中tail python 学习算法多项式 文章分类 Python 后端开发

一、重心和质心

1、质心

（1）一个物体

（2）系统质心：

2、重心

（1）单一物体

（2）系统重心：

3、不同形状的重心位置

二、重心问题

1、实验

2、用级数的想法来考虑这个问题,老师的思想实验

（1）设置

（2）计算

（3）计算跨越26个单位长度距离需要多少木块堆积？

（4）老师要求注意，尽管这个级数是没有极限的，但是这个级数的增长十分的缓慢。

三、幂级数

1、几何级数（Geomeric Series）

（1）证明

2、幂级数的一般形式

（1）公式

（2）如何判断

3、收敛幂级数的法则（和多项式类似）

4、泰勒公式（Taylor's Formula）

5、泰勒公式的应用（求取 e ）

6、求取sin(x)

7、求取cos(x)

一、重心和质心

1、质心

（1）一个物体

刚体由大量粒子组成，刚体的质量是单个粒子质量的总和。但是，我们可以考虑物体上的一个点，使得物体的全部质量都集中在它上面，并且当施加相同的力时，该点的运动与与物体质量相同的粒子的运动相同.这个点称为质心。因此，物体的质心是施加的力产生线性加速度但没有旋转的点。

单个物体上的受力是由其上面每个粒子所受力的总和

python 中tail python中泰勒级数_多项式

设置：如图总质量为M；质心为C.M.； 'm1, m2 ...' 为物体上某点的质量

质心公式（center of mass [x, y]）=

$[ \frac{m_1x_1+m_2x_2+m_3x_3+...}{M} , \frac{m_1y_1+m_2y_2+m_3y_3+...}{M} ]$

（2）系统质心：

python 中tail python中泰勒级数_python_03

设置：两个质量为m1和m2的物体，如图所示。让质量通过刚性杆连接，并让C是它们的质心。

有公式：

$\frac{m_1}{x_1} = \frac{m_2}{x_2}$

2、重心

重心是物体的重量作用并且物体上的总重力扭矩为零的点，简写C.G.

（1）单一物体

python 中tail python中泰勒级数_python_05

设置：物体上某粒子的重力

python 中tail python中泰勒级数_python_06

，

python 中tail python中泰勒级数_学习_07

是这个粒子从纸板的 CG 的位置向量，

python 中tail python中泰勒级数_学习_08

是这个粒子上重力的扭矩

python 中tail python中泰勒级数_python 中tail_09

我们知道在CG点总重力扭矩是 0，所以有

$\sum_{i=1}^{n}t_i =\sum_{i=1}^{n} r_i \times m_ig = 0$

由于 g 是常数，

$\sum_{i=1}^{n} r_i \times m_i = 0$

（2）系统重心：

设置：两个宽2m的铁块 a, b，分别重20kg，40kg，并分别放置在木板两侧A、B，木板长20m。

python 中tail python中泰勒级数_多项式_12

a 的重心距离 A 点1m，而 b 的重心距离A点19m

python 中tail python中泰勒级数_python_13

以左侧A点为基准

系统重心 = 总重力扭矩

$\div$

总的力臂 = （A的力臂

$\times$

A点受力 + B的力臂

$\times$

B点受力）

$\div$

（A点受力 + B点力臂）总重力扭矩=

$1 \times 20 + 19\times40 = 780 kg.m$

系统重心距离左侧=

$\frac{780}{20+40} = 13 m$

3、不同形状的重心位置

体型	CG位置
细均匀条	条的中点
圆环	环的中心
圆盘	磁盘中心
球体、空心球体、环形盘	在它的中心
立方体或矩形块	对角线的交点
三角板	中线的交点
方形层、平行四边形和矩形层	对角线的交点
圆柱	轴的中点
圆锥或金字塔	在与底面中心顶点相接的线上，距底面的距离等于该线长度的1/4

二、重心问题

python 中tail python中泰勒级数_学习_20

如图，有多个积木搭在一起，由下向上，每块都向左偏移一定的距离，问最上面那一块的右测可不可以偏移到最下面的积木的左测以左。

1、实验

老师用几块积木做了这个实验，并且成功了。这里的秘密就是要从上向下布置。

其原理是，由于只要在积木的重心处有支撑，积木就可以立住。

第一块积木的重心在他的中心位置，所以第二块积木要放在第一块的一半处（积木都是等大小的，所以我们只需要考虑水平方向的位置，xCenter1）。第一块和第二块积木形成了新的系统，这个系统的重心在原第一块和第二块重心的平均的位置（

$\frac{xCenter1+xCenter2}{2}$

）, 以此类推当有n个积木以此方法布置时，它们组成的系统的重心为(

$\frac{xCenter1+xCenter2+...+xCenterN}{N}$

)

模拟程序：

python 中tail python中泰勒级数_python 中tail_23

pygame基础上制作的模拟程序

链接：百度网盘请输入提取码

提取码：1g1u

解压7z，并在解压目录中运行 AddRectangles.py。程序中点击键盘回车可以添加一个积木。

2、用级数的想法来考虑这个问题,老师的思想实验

（1）设置：积木长 L = 2，重力 W = 1 ，位置因素只考虑x方向变化，使用贪婪算法，从上向下布置，第n+1块积木所在的位置是：第n块积木的重心和第n+1块积木重心的平均数，也就是

$n \times W \times C_n$

和

$W \times C_{n+1}$

的平均数。由于每块积木的重量相等，则第n块积木累积了n的重量，而n+1块积木有重量 1，它们的平均值是

python 中tail python中泰勒级数_python 中tail_26

（2）计算

考虑重心中系统重心的公式

以原点计，

系统重心 = 总重力扭矩

$\div$

总的力臂 = （A的力臂

$\times$

A点受力 + B的力臂

$\times$

B点受力）

$\div$

（A点受力 + B点力臂）也就是第n+1块积木的左侧是在前n块积木的重心

python 中tail python中泰勒级数_学习_31

（W=1，重力为 n ）下方，也就是说第n+1块积木的重心在

python 中tail python中泰勒级数_python 中tail_32

（重力为 1 ）再把重量考虑进去，则这个新的重心在

$\frac{nC_n +1 (C_n+1)}{n+1} = \frac{(n+1)C_n+1}{n+1} = C_n+\frac{1}{n+1}$

程序：

import numpy as np 
from sympy import *
import matplotlib.pyplot as plt 

def GetCenter(steps, weight, length):
    Cn = 0
    for i in range(steps):
        n = i
        Cn = (Cn*weight*n + (Cn + length/2.0)*weight)/(n+1)
        print(Cn)
        
W = 1
L = 2
GetCenter(100,weight=W,length =L)

1.0
1.5
1.8333333333333333
2.083333333333333
2.2833333333333328
...
5.177377517639616
5.187377517639615

按公式展开：

python 中tail python中泰勒级数_python 中tail_34

$C_1 = 1+\frac{1}{2}$

$C_2 = 1+\frac{1}{2} + \frac{1}{3}$

....

python 中tail python中泰勒级数_python_37

由上一章得知：

Bullseye：第五单元用python学习微积分（三十三）反常积分（下）-- 无穷级数和收敛判定

黎曼上和（

$\Delta x= 1$

）

$UpperRiemanSum=1+\frac{1}{2} +...+\frac{1}{N-1} = \infty$

显然这个

python 中tail python中泰勒级数_python_40

（发散的）

（3）计算跨越26个单位长度距离需要多少木块堆积？

由上一章的知识可知，

python 中tail python中泰勒级数_多项式_41

近似并小于

python 中tail python中泰勒级数_学习_31

（

python 中tail python中泰勒级数_算法_43

）,

这里要注意，每个木块被定义为2个单位距离，所以当我们需要跨越26个单位距离时，

首先要减掉最下面那块的2个单位距离，然后就是其余的积木的重心到目标位置的距离即24个单位距离，也就是

python 中tail python中泰勒级数_python 中tail_44

，由于

python 中tail python中泰勒级数_多项式_45

，也就是让第24个单位距离处为这n块积木的重心，求 n+1（显然 n 是整数）。

x = symbols('x')
eq = ln(x)-24
eq1 = Eq(eq,0)
solveX = solve(eq1)
print(int(solveX[0]))
26489122129

$n =(int) e^{24} +1 = 26489122129+1=26489122130$

假设木块高3cm，这些木块摞起来有多高呢？

$26489122130*3/100 \approx 8 * 10^8 (m)$

，大约等于地球到月亮的距离的2倍

（4）老师要求注意，尽管这个级数是没有极限的，但是这个级数的增长十分的缓慢。

三、幂级数

1、几何级数（Geomeric Series）

当 |x| < 1

$1+x+x^2+x^3... = \frac{1}{1-x}$

（1）证明

假设有

python 中tail python中泰勒级数_算法_49

$(1+x+x^2+x^3+... )\times x = S \times x$

$x+x^2+x^3+x^4+... = S \times x$

$S - x+x^2+x^3+x^4+... =S- S \times x$

由于

python 中tail python中泰勒级数_算法_49

$1= S - S \times x$

$S = \frac{1}{1-x}$

这个证明要求S首先要存在，也就是这个幂级数要是收敛的，不能是发散的。

当

$x \geq 1$

时，等式

python 中tail python中泰勒级数_算法_49

会变成

$\infty = \infty$

,造成结果无意义。

2、幂级数的一般形式

（1）公式

python 中tail python中泰勒级数_算法_59

$= \sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$

python 中tail python中泰勒级数_学习_61

(收敛半径 radius of converges)

python 中tail python中泰勒级数_python 中tail_62

（级数收敛点集区间）当

python 中tail python中泰勒级数_多项式_63 R" title="|x|>R" style="width: 61px; visibility: visible;" data-type="block">

，

$\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$

是发散的当

python 中tail python中泰勒级数_学习_65

, 是边界，并不会被使用

（2）如何判断

$|a_nx^n|\rightarrow0$

以指数速度趋向0 ，当

python 中tail python中泰勒级数_学习_61

python 中tail python中泰勒级数_学习_68

不会趋向0 ，当

python 中tail python中泰勒级数_多项式_63 R" title="|x|>R" style="width: 61px; visibility: visible;" data-type="block">

3、收敛幂级数的法则（和多项式类似）

$f(x) + g(x) , f(x)g(x) , f(g(x)) ,\frac{f(x)}{g(x)}, \frac{d}{dx} f(x), \int f(x)dx$

这些运算对幂级数来说都是成立的

（1）运算举例

$\frac{d}{dx}(a_0 + a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...)= a_1 + 2a_2x + 3a_3x^2+...$

$\int(a_0 + a_1x+a_2x^2+a_3x^3+...)dx = const + a_0x + \frac{1}{2}a_1x^2 + \frac{1}{3}a_2x^3 + \frac{1}{4}a_3x^4 +...$

4、泰勒公式（Taylor's Formula）

注意：使用泰勒公式时，当 n=0 时，约定俗成 0! = 1

泰勒公式的本质是近似，当 f(x)在

python 中tail python中泰勒级数_python_73

处有n阶导数，则有这个函数可以用幂函数近似替代，有公式

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} (x-x_0)^n$

当这个函数在 x=0 处有n阶导数，泰勒公式变换为更常用的麦克劳林公式

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$

当这个展开式n值越大，近似度就越高

通常在幂级数中，

$a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$

证明：

python 中tail python中泰勒级数_学习_77

python 中tail python中泰勒级数_python 中tail_78

$f''(x) = 2a_2 + 3 \times 2 a_3x+...$

$f'''(x) = 3\times 2a_3 + 4 \times 3\times 2 a_4+...$

x 取 0，

$f'''(0) = 3\times 2a_3$

$\frac{f^{(3)}(0)}{3 \times 2\times1} =\frac{f^{(3)}(0)}{3!}= a_3$

5、泰勒公式的应用（求取 e ）

我们知道，当

$f^{(n)}(0) = 1$

所以我们可以把它带入泰勒公式，有

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^n$

而

$e^1 = 1+1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!}+...$

6、求取sin(x)

我们知道，当

$sin(x) =\frac{sin(0)}{1} + \frac{cos(0)}{1!}x - \frac{sin(0)}{2!}x^2 - \frac{cos(0)}{3!}x^3 + \frac{sin(0)}{4!}x^4 + \frac{cos(0)}{5!}x^5 + ..$

$=x - \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{5!}x^5 ...$

7、求取cos(x)

$cos(x) =\frac{cos(0)}{1} - \frac{sin(0)}{1!}x - \frac{cos(0)}{2!}x^2 + \frac{sin(0)}{3!}x^3 + \frac{cos(0)}{4!}x^4 - \frac{sin(0)}{5!}x^5 + ..$

$=1 - \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{4!}x^4...$

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