正弦函数两种泰勒展开式的比较

张文华，汲守峰

【摘 要】摘要：讨论了正弦函数在两种不同情况下的泰勒公式展开式，并利用余项比较两种展开式

在近似计算中误差的大小区别，解释了正弦函数展开式中经常展开偶数项而不是奇数项的原因.

【期刊名称】赤峰学院学报(自然科学版)

【年(卷),期】2018(034)012

【总页数】2

【关键词】正弦函数；泰勒公式；拉格朗日余项

基金项目：唐山学院2017年教育科学研究项目(170352)：“高等数学微课教学模式与资源库的

建设研究”

0 引言

泰勒公式主要是利用泰勒多项式来近似表达其它计算复杂的函数，而多项式中只有加法和乘法两种

运算，使得泰勒公式成为在近似计算和误差估计中的重要工具[1]，而在高等数学教材[2]中，对于正

弦函数sinx的泰勒公式展开式只给出了偶数项展开公式，对奇数情况并未给出任何解释与说明，使

得读者在此有诸多疑问.本文给出sinx泰勒公式展开式的两种情况，并用matlab比较了两种展开式中

余项的大小，解释了两者之间的联系与区别.

1 泰勒公式简介

我们用带有拉格朗日余项的泰勒公式来讨论sinx的展开式

定理1 如果函数f(x)在x0某个邻域U(x0)内有(n+1)阶导数，则对于任意x∈U(x0)，都有泰勒公式展

开式

其中余项其中 ξ介于 x和x0之间.

我们主要讨论x0=0处的泰勒公式，即麦克劳林公式：

y=f(x)的带有拉格朗日余项的n阶麦克劳林公式：

2 正弦函数f(x)=sinx在x0=0时两种形式的泰勒展开式

对于函数f(x)=sinx，有

所以有

下面取n分别为偶数和奇数两种情况讨论sinx的展开式：