python用泰勒级数计算sin函数 求泰勒级数

泰勒级数的理解

• 1. 泰勒级数
• 2. 近似

• 2.1. 举例
• 2.2. 解读

• 2.2.1 一阶
• 2.2.2 二阶
• 2.2.3 三阶

• 2.3 拓展
• 2.4 泰勒多项式

• 3. 几何看法
• 4. 自然常数

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1. 泰勒级数

泰勒级数应该是大学微积分的时候接触

但它在数学中重要的函数近似工具

多项式函数好计算，又好求导，还好积分
用我们村的话讲就叫 very good！

数学里把无限多项的和就叫做级数

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2. 近似

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2.1. 举例

举个例子

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 设置函数
x = np.arange(-10, 10, 0.1)
y1 = np.cos(x)
y2 = 1 - 1 / 2 * x ** 2

# 设置标题和图表
plt.title("$y = cos(x) ≈ 1 - 1/2*x^2$")
plt.plot(x, y1)
plt.plot(x, y2)

# 设置坐标轴上刻度
plt.xticks([])
plt.yticks([])

# 设置matplotlib支持汉语和正常显示字符
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

# 截取x,y的某一部分
plt.xlim((-6.283185, 6.283185))
plt.ylim((-1.5, 1.5))

# 获取当前坐标的位置
ax = plt.gca()

# 去掉坐标图的上和右 spine翻译成脊梁
ax.spines['right'].set_color('None')
ax.spines['top'].set_color('None')

# 指定坐标的位置
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.yaxis.set_ticks_position('left')
ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))
ax.spines['left'].set_position(('data', 0))

# 显示图表
plt.show()

在0附近，$cos$(x) 和 1- $\frac{1}{2}$$x^2$

那么这个 - $\frac{1}{2}$$x^2$

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2.2. 解读

在某个点附近用多项式函数去近似其他函数

首先在x=0处，设置二次多项式来近似

即近似函数$P(x)$的形式为 $c_0+c_1x+c_2x^2$

若要在上式在 $x=0$ 处最近似 $cos(x)$，那么应该在0附近的图案应该比较相似

首先在 $x=0$ 处 $cos(x)$ 等于 1
那么 $P(0) = c_0+c_1*0+c_2*0^2=1$，得出 $c_0=1$
无论 $c_1$和 $c_2$ 怎么选，$x=0$

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2.2.1 一阶

在 $x=0$ 时，如果近似函数的 切线斜率 也能和 $cos(x)$ 的相等的话，那就美滋滋了
不然，近似函数的值在离 $x=0$

$cos(x)$ 的导函数是 $-sin(x)$，在 $x=0$ 处为0，表示它的切线是水平的

此时 近似函数$P(x)$的导数 $c_1+2c_2x$ 应该为 0

则可以得到 $c_1 = 0$

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2.2.2 二阶

现在在 $x=0$ 处的函数值和斜率都确定相等了，就差 $c_2$了
在 $x=0$ 时，导函数是 $-sin(x)$，那么二阶导函数就是 $-cos(x)$
在 $x=0$ 时，它的二阶导数 $-cos(0)=-1$
那么让近似函数与原先的函数的二阶导数相一致，就可以保证在此时拥有相同的弯曲程度（函数斜率的变化程度相同）
此时 近似函数$P(x)$的二阶导数 $2c_2$ 应该为 -1
则可以得到 $c_2 = -\frac{1}{2}$

最终得到近似函数 $P(x)=1+0x-\frac{1}{2}x^2$

验证一下

import numpy as np

a = np.cos(0.1)
b = 1 - 1/2 * 0.1 ** 2

print(a, b)
# 0.9950041652780258 0.995

其实是非常接近的了

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2.2.3 三阶

在上近似函数中，有3个常量来控制近似程度
$c_0$ 负责让多项式在 $x=0$ 的值和 $cos(0)$ 相似
$c_1$ 负责让多项式和 $cos(x)$ 的导数相似
$c_2$ 负责让多项式和 $cos(x)$

可以再往上增加几个高次幂的项来近似更高阶的导数
比如在加个 $c_3x^3$ 多一个系数 $c_3$， $P(x)=1-\frac{1}{2}x^2+c_3x^3$
取三阶导数，二次项以及以下都为0，只剩下 $1*2*3*c_3$
而 $cos(x)$ 的三阶导数为 $sin(x)$， 在 $x=0$ 时等于0，因此 $c_3=0$

无妨，再加个四次项 $c_4x^4$， $P(x)=1-\frac{1}{2}x^2+c_4x^4$
取四阶导数，三次项以及以下都为0，只剩下 $1*2*3*4*c_4$
而 $cos(x)$ 的四阶导数为本身， 在 $x=0$ 时等于1，因此 $c_4=\frac{1}{24}$
则四次近似函数 $P(x)=1-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{24}x^4$

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 设置函数
x = np.arange(-10, 10, 0.1)
y1 = np.cos(x)
y2 = 1 - 1 / 2 * x ** 2
y3 = 1 - 1 / 2 * x ** 2 + 1 / 24 * x ** 4

# 设置标题和图表
plt.title("$y = cos(x) ≈ 1 - 1/2*x^2 ≈ 1 - 1/2*x^2 + 1/24*x^4$")
plt.plot(x, y1, label='$cos(x)$')
plt.plot(x, y2, label='$1 - 1/2*x^2$')
plt.plot(x, y3, label='$1 - 1/2*x^2 + 1/24*x^4$')

# 设置坐标轴上刻度
plt.xticks([])
plt.yticks([])

# 设置matplotlib支持汉语和正常显示字符
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

# 截取x,y的某一部分
plt.xlim((-6.283185, 6.283185))
plt.ylim((-1.5, 1.5))

# 获取当前坐标的位置
ax = plt.gca()

# 去掉坐标图的上和右 spine翻译成脊梁
ax.spines['right'].set_color('None')
ax.spines['top'].set_color('None')

# 指定坐标的位置
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.yaxis.set_ticks_position('left')
ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))
ax.spines['left'].set_position(('data', 0))

#显示图示
plt.legend()

# 显示图表
plt.show()

确实 四次近似函数 比 二次近似函数 更加接近 原函数

可以发现以上过程，阶乘的形式出现，对多次项 $x^n$ 连续多次求导，则一层一层嵌套，如七阶项 $c_7x^7$ 和 七阶导数 $1*2*3*4*5*6*7*c_7 = 7!c_7$
那么 $c_7=$ 想要的导数值 $/ 7！$，高次的求导不影响低次项

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2.3 拓展

如果想要用多项式估计一个非0点附近的结果，比如 $x=\pi$
那么设定为关于$(x-\pi)$而不是$x$的多项式就可以得到相同结果
近似函数 $P(x)=c_0+c_1(x-\pi)-+c_2(x-\pi)^2+c_3(x-\pi)^3+c_4(x-\pi)^4$

虽然复杂了，其实也就是让$\pi$点和之前的0点一样

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2.4 泰勒多项式

对于$cos(x)$ 在0处的各阶导数会按 $cos(0)$ $-sin(0)$ $-cos(0)$ $sin(0)$，1 0 -1 0 的形式循环

近似函数 $P(x)=1\frac{x^0}{0!}+0\frac{x^1}{1!}+-1\frac{x^2}{2!}+0\frac{x^3}{3!}+1\frac{x^4}{4!}$
也就是泰勒多项式（泰勒公式），近似函数累加了有限的多项
而 $c_n=$ 想要的导数值 $/ n！$

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3. 几何看法

求近似面积，多次项的二次项就呼之欲出了
学过微积分可以知道，图像所表示的函数本身就是面积函数的导数

若函数往右增长$dx$，那么多出来的面积就近似与$dx$乘以函数此时的高度，若$dx$越小，精度越高

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# 设置函数
x = np.arange(0, 1, 0.00001)
y1 = x**2

# 设置标题和图表
plt.plot(x, y1)

# 设置坐标轴上刻度
plt.xticks([0,1, 1])
plt.yticks([0,1])

# 设置matplotlib支持汉语和正常显示字符
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

# 截取x,y的某一部分
plt.xlim((0, 1))
plt.ylim((0, 1))

# 获取当前坐标的位置
ax = plt.gca()

# 去掉坐标图的上和右 spine翻译成脊梁
ax.spines['right'].set_color('None')
ax.spines['top'].set_color('None')

# 指定坐标的位置
ax.xaxis.set_ticks_position('bottom')
ax.yaxis.set_ticks_position('left')
ax.spines['bottom'].set_position(('data', 0))
ax.spines['left'].set_position(('data', 0))

# 画阴影区域
a, b = 0, 0.5
xf = x[np.where((x >= a) & (x <= b))]
plt.fill_between(xf, xf**2, xf*0, color='blue', alpha=0.25)

a, b = 0.5, 0.55
xf = x[np.where((x >= a) & (x <= b))]
plt.fill_between(xf, xf**2, xf*0, color='red', alpha=0.25)

# 显示图示
plt.legend()

# 显示图表
plt.show()

假设原始起始点为A
剩余的部分就可以近似为一个三角形
三角形的面积 = 底$（dx）* 1 / 2$ $*$ 高（图像斜率 $l(x)$）
由于曲线图像代表了面积函数的导数
所以在A点的图像斜率就是面积函数在A点的二阶导数
就等于 $\frac{1}{2} * (面积函数在A点的二阶导数) * dx^2$

那么其实就是和泰勒多项式一样
面积函数$f(x)$ = 原面积（紫色区域 / $c_0$ / $f(A)$）+ 增加的长方形区域（粉红色下部分 / $l(x)(x-A)$） + 增加的三角形区域（粉红色上部分 / $\frac{1}{2}l(x)$）

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4. 自然常数

特殊的例子，$x=0$ 处的 $y=e^x$ 函数，因为导数就是本身，且$e^0=1$
那么近似函数 $P(x)=1\frac{x^0}{0!}+1\frac{x^1}{1!}+1\frac{x^2}{2!}+1\frac{x^3}{3!}+1\frac{x^4}{4!}+......$

到四次的时候很明显比较接近了。

而 $e^1 = 1+ \frac{1}{1!}+ \frac{2}{2!}+ \frac{3}{3!}+ \frac{4}{4!}+ \frac{5}{5!} + ... ≈ 2.7182540$

加上越来越多的多项式，总和就越来越接近e

那么可以说这个无穷级数收敛到e，也就是说这个级数就等于e

即便从定义上讲，泰勒多项式只考虑0点周围的各种导数性质
但在$e^x$的例子中，无论x取任何值 $e^x$

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谢谢