泰勒级数求sin python 泰勒级数求收敛半径

Chapter26：泰勒级数和幂级数（如何解题）

• 26.泰勒级数和幂级数（如何解题）

• 26.1 幂级数的收敛性

• 26.1.1 收敛半径
• 26.1.2 求收敛半径和收敛区域

• 26.2 合成新的泰勒级数

• 26.2.1 代换和泰勒级数
• 26.2.2 泰勒级数求导
• 26.2.3 泰勒级数求积分
• 26.2.4 泰勒级数相加和相减
• 26.2.5 泰勒级数相乘
• 26.2.6 泰勒级数相除

• 26.3 利用幂级数和泰勒级数求导
• 26.4 利用麦克劳林级数求极限

26.泰勒级数和幂级数（如何解题）

强烈建议先了解泰勒级数【传送门：透彻理解泰勒级数】

26.1 幂级数的收敛性

26.1.1 收敛半径

幂级数收敛性的三种情况

26.1.2 求收敛半径和收敛区域

1.比式判别法

2.根式判别法

算出极限的结果，其形式为 $L|x-a|$

---

若 $L\neq 0$

$L|x-a|\lt1，|x-a|\lt\frac{1}{L}=R$

$L|x-a|\gt1，|x-a|\gt\frac{1}{L}=R$

$L|x-a|=1，|x-a|=\frac{1}{L}=R$

---

若 $L=0$ （ $0\cdot|x-a|=0$ ，收敛半径为 $R=\frac{1}{L}=\infty$ ）
不论 $x$ 取何值，比式的极限都为0.意味着幂级数对所有的 $x$ 值都绝对收敛

---

若 $L=\infty$（ $\infty\cdot|a-a|=0$，收敛半径为 $R=\frac{1}{L}=0$ ）
当 $x=a$ 时幂级数一定收敛，但对于其他任何 $x$

例1：

26.2 合成新的泰勒级数

方法一：直接用公式
方法二：用常见泰勒级数合成新的泰勒级数

常用泰勒级数

26.2.1 代换和泰勒级数

代换时，等式左右两边同时代换

例1：

例2：

代换方法求泰勒多项式，注意阶数例子：

26.2.2 泰勒级数求导

例子：

26.2.3 泰勒级数求积分

对泰勒级数逐项积分
新的级数和原级数收敛区间一样（收敛区间的端点除外）
若用不定积分，记得加常数

例1：

例2：

26.2.4 泰勒级数相加和相减

26.2.5 泰勒级数相乘

一般只关注级数前面几项，并学会略去无用项
不要把注意力集中在次数大于原函数级数的阶的项

26.2.6 泰勒级数相除

长除法
略掉不关心的项
应该将各项按次数递增的顺序写

例子：

26.3 利用幂级数和泰勒级数求导

例子：

26.4 利用麦克劳林级数求极限

希望消去一些项，且不想让分子或分母为0

例1：

例2：