在工程中，经常要用到泰勒级数，因此有必要对此做一个统一的归纳与总结。首先，还是从最基本的级数开始吧。
通常所说的级数，就是指无穷级数，即有无穷多个项相相加，如式（1）所示。
------------（1）
既然有无穷级数，那当然也有有穷级数了，那就是高中时代所学的数列，如式（2）就是一个典型的有穷级数。
------------（2） 然而，工程应用中使用的最多的就是无穷级数，所以一般提到的级数都是指无穷的。下面将重点讨论无穷级数。式（1）中的
称为通项，可以是常数，也可以是函数。当
为常数时，式（1）称为常数项级数；当
为函数时，式（1）称为函数项级数。下面将介绍与级数相关的一些重要的概念。 部分和：在高中时代学的数列中，就有前
项和的概念。同理，取级数的前面
项相加，即得此级数的部分和，如式（3）所示。
------------（3）
注意：1，部分和并不是指任意一部分项的和！
2，
每取一个值，都有对应的一个部分和，这些值将构成一个数列
！ 级数收敛/发散：部分和数列
存在极限，即
，则称此级数收敛。并且称
为级数的和。如果一个级数没有和，则称此级数发散！
注意：1，级数，指的是无穷多个项相加的一种状态，而不是相加所得的这个结果，因为这个相加有可能是没有结果的——级数发散，没有级数的和！
2，收敛，又可以细分为绝对收敛和条件收敛，区别是它们所满足的条件不一样。
绝对收敛：对式（1）各项取绝对值后的到正项级数
，如果
收敛，则称式（1）绝对收敛。 条件收敛：如果式（1）收敛，但是
不收敛，则称式（1）条件收敛。
对于一个级数，到底是否收敛，是绝对收敛还是条件收敛，这是一个需要花很多笔墨取讨论的问题，在《高等数学》中有相关的定理，在此不做详细的介绍。
常数项级数相对比较简单，更为复杂的是函数项级数。在工程中常用的函数项级数是傅立叶级数、泰勒级数。其中，傅立叶级数是一种三角级数，而泰勒级数是一种幂级数。
幂级数：式（1）中的
为幂函数
时，称式（1）为幂级数，如式（4）。
-------------（4）
泰勒级数：在工程中，很多情况下已经知道的并不是一个级数，而是一个函数。由于分析一个函数不方便，因此希望将它转换成级数。泰勒级数就是将一个函数表示成一个幂函数的方法！如式（5）。
----------（5）
注意：泰勒级数的展开需要满足一定的条件，详细见《高等数学》的相关章节，这里不赘述。
在工程应用中，使用的最多的就是将函数展开为泰勒级数，然后取前面
项来对原函数进行近似，并且利用近似的数列来代替原函数进行分析。例如在《人工神经网络》的性能曲面与最优点的分析中，使用泰勒级数对性能函数进行近似，用其近似数列来代替原函数进行数学分析。 式（5）只是对单变量的函数进行泰勒级数展开，但是工程应用中，很多情况下函数的变量都不止一个，因此需要对式（5）进行拓展。在《人工神经网络》中就提到
元函数的泰勒展开。
元函数如式（6）。
------------（6）
对式（6）展开，需要使用偏导，式（6）的泰勒展开如式（7）。
----------------（7）
写成矩阵的形式，如式（8）。
---------（8） 梯度：式（8）中的
就称为梯度，其展开如式（9）。
--------------（9）
