文章目录
- 一、基本原理
- 二、原理深入讲解
- 1 、切线是曲线的线性逼近
- 2、 牛顿-拉夫逊法
- 3 、牛顿-拉夫逊法是否总是收敛(总是可以求得足够近似的根)?
- 三、pythons实例
- 总结
一、基本原理
对于一个方程 f ( x ) = 0 ,我们将函数 f ( x )单独考虑。
若函数 f ( x ) (n+1)阶可导,则我们在初始值 x = x 0 处进行泰勒展开,可得:
令 x − x 0= Δ x ,然后将上述泰勒公式一阶展开,忽略余项可得:
令其等于 f ( x ) = 0,可得:
从而求出:
二、原理深入讲解
1 、切线是曲线的线性逼近
要讲牛顿迭代法之前我们先说一个关键问题:切线是曲线的线性逼近。
这个是什么意思呢?我们来看一看,下面是 f(x)=x^2 的图像:
我们随便选一点f(x) 上的一点(a,f(a))作它的切线:
我们在A点处放大图像:
上图中,红色的线是f(x),黑色的是A点处的切线,可以看出放大之后切线和f(x)非常接近了。很明显,如果我们进一步放大图像,A点切线就越接近f(x)。
因为切线是一条直线(也就是线性的),所以我们可以说,A点的切线是f(x)的线性逼近。离A点距离越近,这种逼近的效果也就越好,也就是说,切线与曲线之间的误差越小。所以我们可以说在A点附近,“切线约等于 f(x) ”。
2、 牛顿-拉夫逊法
牛顿-拉夫逊法提出来的思路就是利用切线是曲线的线性逼近这个思想。
牛顿、拉夫逊们想啊,切线多简单啊,研究起来多容易啊,既然切线可以近似于曲线,我直接研究切线的根不就成了。
然后他们观察到这么一个事实:
随便找一个曲线上的A点(为什么随便找,根据切线是切点附近的曲线的近似,应该在根点附近找,但是很显然我们现在还不知道根点在哪里),做一个切线,切线的根(就是和x轴的交点)与曲线的根,还有一定的距离。牛顿、-拉夫逊们想,没关系,我们从这个切线的根出发,做一根垂线,和曲线相交于B点,继续重复刚才的工作:
之前说过,B点比之前A点更接近曲线的根点,牛顿、拉弗森们很兴奋,继续重复刚才的工作:
第四次就已经很接近曲线的根了
经过多次迭代后会越来越接近曲线的根(下图进行了50次迭代,哪怕经过无数次迭代也只会更接近曲线的根,用数学术语来说就是,迭代收敛了):
3 、牛顿-拉夫逊法是否总是收敛(总是可以求得足够近似的根)?
我们来看看收敛的充分条件:
若
f(x)
二阶可导,那么在待求的零点
x
周围存在一个区域,只要起始点
x_0
位于这个邻近区域内,那么牛顿-拉弗森方法必定收敛。
也就是说,在这个区域内,用切线代替曲线这个直觉是合理的。但是,因为我们不知道根点到底在哪里,所以起始点 x_0 选择就不一定在这个区域内,那么这个直觉就不可靠了。
驻点
起始点不幸选择了驻点,从几何上看切线根本没有根。
从代数上看,x{n+1}=xn-f(xn)/f’(xn)没有意义。
越来越远离的不收敛
循环震荡的不收敛
不能完整求出所有的根
三、pythons实例
牛拉法主要流程
以 x 2 − 4 x - 4 = 0 为例,设计 Python 程序:
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
def fun(x):
y = x ** 2 - 4 * x - 1
return y
def fun_diff(x):
y = 2 * x - 4
return y
def Netwon(x0, func, dfunc):
# 迭代条件
e = 1e-5
x = np.zeros(2)
x[0] = x0
x[1] = x0 - func(x[0]) / dfunc(x[0])
while abs(func(x[0])) > e:#在0附近
x[0] = x[1]
x[1] = x[0] - func(x[0]) / dfunc(x[0])
return x[1]
if __name__ == '__main__':
x=np.arange(-5,5,0.1)
y=fun(x)
x1=Netwon(0, fun, fun_diff) #牛拉法求得的点
plt.plot(x,y)
plt.xlim(-5, 5)
plt.ylim(-10, 50)
plt.scatter(x1,fun(x1),color='red')
plt.show()
总结
应用牛顿-拉夫逊方法,要注意以下问题:
函数在整个定义域内最好是二阶可导的
起始点对求根计算影响重大,可以增加一些别的判断手段进行试错
作者:电气-余登武