泰勒级数
再讲傅立叶级数之前，我想先谈谈泰勒级数。因为傅立叶级数很大程度上与泰勒级数类似。
泰勒级数意义
泰勒公式描述了任何初等函数都可以靠多项式拟合形成。具体点就是通过某一点的数值+导数+导数的导数，以此类推。
举个常用的泰勒展开式
这个公式可以用来推导欧拉公式(待会要用)
泰勒公式推导
由于
可以看到
是泰勒级数的余项，可以视为无穷小，所以再做函数拟合的时候，可以按照精度适当丢弃。
傅立叶级数
傅立叶级数是用来正余弦函数的多项式和的形式表示周期函数的方法，其思想有点类似与泰勒级数。都是通过多项式的线性叠加来拟合原函数。(扩展一下，神经网络其实也是通过多项式来拟合目标函数)
是为了计算方便，也可以表示成
可以看到我们只要确定
、
、
就能把原周期函数表示为正弦与余弦信号的叠加。
计算傅立叶级数的系数
在三角函数系
中，
区间内是正交的，正交在线代里面的是指向量垂直即
(
)，这里推广到函数正交，即从求和公式推广到积分公式。
我们可以用这个性质来计算系数，我们对
两边对
在
上积分。
所以
我们接着对
两边乘
并对
在
上积分。
同理
于是3个系数就全部出来了
这样周期性函数就能通过傅立叶级数展开。
由于我们可以通过变量置换
，这样傅立叶级数可以拟合任意连续的周期为
的函数。
性质：对于高次项的正余弦函数是形成突刺的原因，又称高次谐波。
连续性傅立叶变换
由欧拉公式可得
代入
得
整理得
我们可以看到
与
对称，所以可以把求和扩大到
,并且可以把
当成
的特殊情况，所以我们可以得出一个漂亮式子：
我们可以看到一般周期函数，已经可以投影到自然底数的正交基中。
接着，傅立叶变换的物理意义先明确下，是将普通函数转换到频域空间中。事实上傅立叶级数已经可以把一般周期函数延拓到频域空间，只不过是无穷项和的形式。现在要做的是，怎样把周期函数延伸到普通函数，并且试试将无穷项和的形式换一种方式。
频域图
将 傅立叶级数
展开就能得到频域图，如下：
我们为了拟合非周期函数，则必须要把周期
放到到无穷大。这样频域图就会变成曲线，如下：
注意，这个函数图像就是我们要求的
, 即傅立叶变换后频域的函数。
并且我们将
的周期
也就是：
可以看到
就是傅立叶正变换。
而原函数的表达式：
即傅立叶反变换。
