基于最小二乘法的人口增长模型拟合
- 一．问题描述
- 二．问题分析
- 三．实验过程
- 四．实验结果分析
一．问题描述
全国第七次人口普查正在进行中，为了更好的了解我国人口总数，判断人口数量变化规律，为相关政策的制定与执行提供理论依据。需要一定的数学模型来对人口数量进行估计和预测，需要选择合适的数学方法来实现上述目标。
二．问题分析
为了对2020年全国总人口有一个较为准确的估计，需要查找2020年之前若干年的全国总人口数据，依据已有的统计数据来估计未知的数据。经过比较与选择，本课题采用最小二乘法的指数增长模型来对数据进行拟合来，进而完成对2020年的总人口进行预测的目标。
三．实验过程
查阅相关资料可搜集到2000年至2019年我国的人口数据资料如下表所示：
表1 人口总数统计表
年份 | 2000 | 2001 | 2002 | 2003 | 2004 | 2005 | 2006 | 2007 | 2008 |
人口 | 12.65 | 12.76 | 12.84 | 12.92 | 12.99 | 13.07 | 13.14 | 13.21 | 13.28 |
年份 | 2009 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 |
人口 | 13.34 | 13.41 | 13.47 | 13.54 | 13.61 | 13.67 | 13.74 | 13.82 | 13.90 |
年份 | 2018 | 2019 | |||||||
人口 | 13.95 | 14.00 |
根据已有资料，现对统计数据进行建模，可采用线性增长模型和指数增长模型。现比较两者效果，根据结果选出最合适的模型。
（1） 线性增长模型
观测值的模型：
线性模型：y=a+bx
拟合精度：
多项式拟合函数：(程序采用MATLAB实现)
function p=mafit(x,y,m)
format short;
A=zeros(m+1,m+1);
for i=0:m
for j=0:m
A(i+1,j+1)=sum(x.^(i+j));
end
b(i+1)=sum(x.^i.*y);
end
a=A\b';
p=fliplr(a');
end输入：（拖动进度条往右划可查看完整）
x=[2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019];
y=[12.65 12.76 12.84 12.92 12.99 13.07 13.14 13.21 13.28 13.34 13.41 13.47 13.54 13.61 13.67 13.74 13.82 13.90 13.95 14.00];
p=mafit(x,y,1)输出：
p =
0.0697 -126.7102所以线性模型为y=0.0697*x-126.7102
预测2020年人口数据：
输入：x=2020;
y=0.0697*x-126.7102；
输出：y =
14.0838（2） 指数增长模型（用简单的线性最小二乘法）
输入：
x=[2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019];
y=[12.65 12.76 12.84 12.92 12.99 13.07 13.14 13.21 13.28 13.34 13.41 13.47 13.54 13.61 13.67 13.74 13.82 13.90 13.95 14.00];
p=mafit(x,log(y),1)输出：
p =
0.0052 -7.9030所以指数模型：y=e^(-7.9030+0.0052x)
预测2020年人口数量：
输入：x=2020;
y=exp(-7.9030+0.0052*x)
输出：y =
13.4772拟合图形程序：
x=[2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019];
y=[12.65 12.76 12.84 12.92 12.99 13.07 13.14 13.21 13.28 13.34 13.41 13.47 13.54 13.61 13.67 13.74 13.82 13.90 13.95 14.00];
a=mafit(x,y,1);
x1=[2000:1:2019];
y1=a(2)+a(1)*x1;
b=mafit(x,log(y),1);
y2=exp(b(2))*exp(b(1)*x1);
plot(x,y,'*')
hold on
plot(x1,y1,'--r')
hold on
plot(x1,y2,'-k')
legend('原曲线','曲线一','曲线二')输出结果如下图所示：
图1 matlab输出结果曲线图
（注：曲线一为线性模型，曲线二为指数模型）
四．实验结果分析
由于我国有关人口控制的相关政策的实行，使得人口增长率逐年下降， 到2020
年人口数量不会一直呈线性变化，故模型二更适合我国目前人口变化的模式。虽然数模模型的预测不一定准确，因为要受到数据来源的影响，本设计所搜集到的数据来源不一定非常精准，如若能够保证数据来源的稳定性，那么预测结果有一定的参考价值，可为相关部门参考和借鉴。
