python人口预测模型指数增长模型 人口增长的指数模型

数学建模:人口增长模型

模型目标:
通过给定的一组人口增长数据,预测后续的人口增长情况.

一、指数增长模型

假设增长率不变:

若已知人口年增长率为r,今年人口为 $x_0$,预测k年后的人口可以用简单的公式得到:

$x_k = x_0(1+r)^k$

*以美国人口为例,数据点取下表:

用matlab输入好数据:

p = [3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 92 105.7	122.8 131.7 150.7 179.3	203.2 226.5	248.7 281.4];

该公式得到的人口增长模型如下图(matlab作图):

选取的增长率0.2与实际的人口数据点贴合度差,于是进一步建立模型,找到偏差更小的增长率r

精确化增长率r

把人口看作关于时间的可微函数 $x(t)$,记 $x(0) = x_0$
$rx_0$ 即为单位时间 $x(t)$ 的增长量
所以得到微分方程:
$\frac{dx}{dt} = rx , x(0)=x_0$
解得:
$x(t) = x_0e^{rt}$
上述公式即位指数增长模型

数据拟合:

接下来对指数增长模型的参数进行估计,即数据拟合

·法一

用人口数据和线性最小二乘法,对上式取对数:
$y = rt +a , y=lnx,a=lnx_0$
用matlab进行编程拟合:

%取1790年为t=0,数据点取到2000年
t=0:10:210;
lnp = log(p);
cftools

解得:

$r = 0.202,x_0 = e^{1.8} = 6.049$

带入得$x(t) = 6.049 e^{0.0202t}$

·法2

对人口数据做数值微分,计算平均值r‘,x0直接选用原始数据.

函数在各点的近似导数值为(数值微分中点公式):

$x$

$x$

那么增长率为: $r(t_k)=\frac{x$

*公式相关推导可参考数值计算方法 第六章 数值积分和数值微分

增长率 $r_k=\frac{x$再取平均值得到r = 0.0205

改进的指数增长模型

上述模型对于增长率r不变的假设导致预测曲线与实际偏差较大
所以改进模型中假设 r 为 t 的函数 $r(t)$ , 根据上述法2的 $x$

r=[];
for i=1:22
    if i == 1
        r(i)=(4*p(i+1)-3*p(i)-p(i+2))/(20*p(i));
    elseif i == 22
        r(i)=(-4*p(i-1)+3*p(i)+p(i-2))/(20*p(i));
    else
        r(i)=(p(i+1)-p(i-1))/(20*p(i));
    end
end
plot(t,r,'.','MarkerSize',20);
ylim ([0.005,0.04]);
xlabel('t');
ylabel('增长率r');

根据散点图假设$r(t)=r_0-r_1t$的线性函数,用最小二乘法线性拟合得到:

$r_0 = 0.03252,\space r_1 = 0.0001143$

根据微分方程:

$dx/dt=r(t)x$

$\Rightarrow x(t) = x_0 e^{(r_0t-r_1t^2/2)}$

把拟合后的参数带入:

xt2 = 3.9.*exp(0.03252.*t-0.0001143.*t.^2./2);
plot(t,xt2,'LineWidth',1);

最终根据改进模型预测的2010年人口为290million,与实际数据281.4吻合度较高.显然改进后的模型优于前两者.

二、logistic模型

改进的指数增长模型中增长率线性下降,但没有体现其下降的相关影响因素,只是以时间为变量.logistic模型考虑了自然资源,环境等对人口增长的阻滞作用.

未完…