一、常微分方程的基本概念

定义：含有未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，有时也简称方程

 

定义：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶

 

定义：找出这样的一个函数，把这个函数带入微分方程使该方程成为恒等式，这个函数就叫做微分方程的解

 

定义：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。即几阶微分方程，通解中就会有几个任意常数

 

定义：由于通解中含有任意常数，为了确定任意常数的值，引入初值条件，例如：如果微分方程是一阶的，确定任意常数的条件是$y|{x=x_0}=y_0$，如果微分方程是二阶的，确定任意常数的条件为$y|{x=x_0}=y_0,y'|_{x=x_0}=y'_0$，其中$x_0,y_0,y'_0$都是给定的值，上述条件即为初值条件，通过初值条件可以确定通解中的任意常数，所得到的就是微分方程的特解。由于几阶微分方程就含有几个任意常数，所以就需要知道几个初值条件

 

定义：微分方程的解对应的曲线就叫做微分方程的积分曲线

 

二、一阶线性微分方程

可分离变量的方程$y'=f(x)g(x)$

定义：如果一个一阶微分方程能写成$g(y)dy=f(x)dx$的形式，也就是说，能把微分方程写成一端只含的函数和$dy$，另一端只含$x$的函数和$dx$，那么原方程就称为可分离变量的微分方程

 

求解方法

  1. 将微分方程化为$g(y)dy=f(x)dx$

  2. 将上式两端同时积分得$\begin{aligned} \int g(y)dt=\int f(x)dx\end{aligned}$

  3. 设$G(x)$及$F(x)$依次为$g(y)$及$f(x)$的原函数，得$G(y)=F(x)+C$

 

齐次方程$\frac{dy}{dx}=\phi (\frac{y}{x})$

定义：如果一阶微分方程可以化为$\frac{dy}{dx}=\phi (\frac yx)$的形式，那么就称该微分方程为齐次方程。

 

$n$次齐次函数，即$f(tx,ty)=t^{n}f(x,y)$

显然本题所谓的齐次方程就是$0$次齐次函数，因此叫齐次方程

 

求解方法

  1. 将原微分方程化为$\frac{dy}{dx}=f(\frac yx)$的形式

  2. 令$u(x)=\frac yx$，则$y=ux$，$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$

  3. 原微分方程可化为$\begin{aligned} u+x\frac{du}{dx}=f(u)\end{aligned}$，将其分离变量得$\begin{aligned} \frac{du}{f(u)-u}=\frac{dx}{x}\end{aligned}$，两边同时积分得$\begin{aligned} \int\frac{du}{f(u)-u}=\int\frac{dx}x\end{aligned}$

  4. 求出积分之后，将$\frac yx$代替$u$，得到齐次方程的通解

 

线性方程$y'+P(x)y=Q(x)$

通解为

$$

\begin{aligned} y=e^{-\int P(x)dx}\left[\int Q\left(x\right)e^{\int P(x)dx}dx+C\right]\end{aligned}

$$

在这里的如果有$\begin{aligned} \int_{}^{}p(x)dx=\int_{}^{} \frac{1}{x}dx=\ln x\end{aligned}$，可以不加绝对值

 

伯努利方程$y'+P(x)y=Q(x)y^{\alpha}(\alpha \ne 1)$

 

求解方法及通解形式

  1. 将等式两端同除$y^n$，得$\begin{aligned} y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)\quad\text{(1)}\end{aligned}$

  2. 令$z=y^{1-n}$，那么$\begin{aligned} \frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}\end{aligned}$

  3. 将$(1-n)$乘在(1)式两端，经过代换变成$\begin{aligned} \frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)\end{aligned}$，解出方程的通解，再将$z$用$y^{1-n}$代换，得到方程的通解

 

全微分方程$P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0$

判定方法：

$$

\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}

$$

 

解法：

偏积分、凑微分、线积分

 

三、可降阶的高阶方程

$y^{(n)}=f(x)$

求解方法：

将微分方程$y^{(n)}=f(x)$的两端同时$x$积分得$y^{(n-1)}=\int f(x)dx+C_1$，再对等式两边同时积分得$y^{(n-2)}=\int[\int f(x)dx+C_1]dx+C_2$，连续积分$n$次，得到方程含有$n$个任意常数的通解

 

$y''=f(x,y')$

求解方法

  1. 令$y'=p$，则$y''=\frac{dp}{dx}=p'$

  2. 原微分方程变为$\begin{aligned} \frac{dp}{dx}=f(x,p)\end{aligned}$，解微分方程得$p=p(x,C_1)$

  3. 由于$\frac{dy}{dx}=p$，则$\frac{dy}{dx}=p(x)$，解得$y=\int p(x,C_1)dx+C_2$

 

$y''=f(y,y')$

求解方法：

  1. 令$y'=p$，则$\begin{aligned} y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}\end{aligned}$

  2. 原微分方程变为$\begin{aligned} p\frac{dp}{dy}=f(y,p)\end{aligned}$，解微分方程得$p=p(y,C_1)$

  3. 由于$\frac{dy}{dx}=p$，再对其分离变量，解得微分方程的通解

四、高阶线性微分方程

线性方程的解的结构

齐次方程：$y''+p(x)y'+q(x)y=0$

非齐次方程：$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$

 

定理1：如果$y_{1}(x)$和$y_{2}(x)$是齐次方程的两个线性无关的特解，那么

$$

y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)

$$

就是齐次方程的解

 

定理2：如果$y^{*}$是非齐次方程的一个特解，$y_{1}(x)$和$y_{2}(x)$是齐次方程的两个线性无关的特解，则

$$

y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)+y^{*}(x)

$$

是非齐次方程的通解

 

定理3：如果$y^{}_{1}(x),y^{}_{2}$是非齐次方程的两个特解，则

$$

y(x)=y^{}_{1}(x)-y^{}_{2}

$$

是齐次微分方程的解

 

定理4：如果$y^{}_{1}(x),y^{}_{2}$分别是方程

$$

\begin{aligned}

y''+p(x)y'+q(x)y=f_{1}(x)\

y''+p(x)y'+q(x)y=f_{2}(x)

\end{aligned}

$$

的特解，则

$$

y^{}_{1}(x)+y^{}_{2}

$$

是方程$y''+p(x)y'+q(x)y=f_{1}(x)+f_{2}(x)$的一个特解

 

定理5：如果$y^{*}(x)$是非齐次方程的一个特解，$y_{0}(x)$是非齐次方程对应的齐次方程的通解，则

$$

y=y_{0}(x)+y^*(x)

$$

是非齐次方程的通解

 

定理5就是对定理2的简单阐述，主要用于二阶常系数非齐次线性微分方程的求解。用定理2也可以

 

二阶常系数齐次线性微分方程$y''+py'+qy=0$

特征方程$\lambda^{2}+p \lambda+q=0$

 

求解方法及通解形式

  1. 写出微分方程的特征方程$\lambda^2+p\lambda+q=0$。即，将$y''+py'+q=0$中y的几阶导数就变为$\lambda$的几次方

  2. 求出特征方程的两个根$\lambda_1,\lambda_2$

  3. 根据特征根的不同形式，写出微分方程的通解

 

特征方程$\lambda^2+p\lambda+q=0$的两个根$\lambda_1,\lambda_2$ 微分方程$y''+py'+q=0$的通解                    
两个不相等的实根$\lambda_1,\lambda_2$                         $y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$        
两个相等的实根$\lambda_1=\lambda_2=\lambda$                    $y=(C_1+C_2x)e^{\lambda x}$                    
一对共轭复根$\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i$                  $y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$

 

高阶常系数齐次线性微分方程$y^{(n)}+p_1y^{(n-1)}+p_2y^{(n-2)}+\cdots+p_{n-1}y'+p_ny=0$

 

特征方程的根                                  微分方程通解中的对应项                                                                                     
单实数$\lambda$                               给出一项：$Ce^{\lambda x}$                                                                                 
一对单复根$\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i$    给出两项：$e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$                                                    
$k$重实根$\lambda$                            给出$k$项：$e^{\lambda x}(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1})$                                                     
一对$k$重复根$\lambda_{1,2}=\alpha\pm\beta i$ 给出$2k$项：$e^{\alpha x}[(C_1+C_2x+\cdots+C_kx^{k-1})\cos\beta x+(D_1+D_2x+\cdots+D_kx^{k-1})\sin\beta x]$

 

例1：设高阶常系数齐次线性微分方程的特征根是$\lambda_1=2,\lambda_2=\lambda_3=3,\lambda_{4,5}=1\pm i,\lambda_{6,7}=2\pm 3i,\lambda_{8,9}=2\pm 3i$

 

$$

y_{\text{齐通}}=C_1e^{2x}+e^{3x}(C_2+C_3x)+e^x(C_4\cos x+C_5\sin x)+e^{2x}[(C_6+C_7x)\cos3x+(C_8+C_9x)\sin3x]

$$

 

例2：求方程$y^{(4)}-2y'''+5y''=0$的通解

 

解特征方程

$$

\lambda^4-2\lambda^3+5\lambda^2=0\Rightarrow\lambda^2(\lambda^2-2\lambda+5)=0

$$

解得，

$$

\lambda_1=\lambda_2=0，\lambda_{3,4}=\frac{2\pm\sqrt{4-20}}{2}=1\pm2i

$$

故

$$

y_{\text{齐通}}=C_1+C_2x+e^x[C_3\cos 2x+C_4\sin 2x]

$$

二阶常系数非齐次线性微分方程$y''+py'+qy=f(x)$

求解方法及通解形式

 

先求二阶常系数齐次线性微分方程的通解（得到$\lambda_{1},\lambda_{2}$）

一下分两种情况讨论（其余情况不讨论）

$f(x)=e^{\lambda x}P_{m}(x)$

当

$$f(x)=e^{\lambda x}P_{m}(x)$$

时，$P_{m}(x)$为$x$的$m$次多项式，则微分方程的特解可设为

$$y^{*}=x^{k}Q_{m}(x)e^{\lambda x}$$

其中$Q_m(x)$是与$P_m(x)$同次的多项式，$k$是特征方程含根$\lambda$的重数

$y^{*}=x^{k}Q_{m}(x)e^{\lambda x}$中的

$$\begin{cases}e^{\lambda x}\text{照抄}\x^{k}\text{中的}k=\begin{cases}0,\lambda_{1}\ne\lambda\text{且}\lambda_{2}\ne\lambda\1,\lambda_{1}=\lambda,\lambda_{2}\ne\lambda\text{或}\lambda_{2}=\lambda,\lambda_{1}\ne\lambda\2,\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda\end{cases}\Q_{m}(x)\text{是设的与}P_{m}(x)\text{同次多项式}\end{cases}$$

 

$f(x)=e^{\alpha x}[P_l(x)\cos\beta x+P_n(x)\sin\beta x]$

当

$$f(x)=e^{\alpha x}[P_l(x)\cos\beta x+P_n(x)\sin\beta x]$$

时，其中$P_l(x),P_n(x)$分别为$x$的$l$次，$n$次多项式，则微分方程的特解可设为

$$y^{*}=x^{k}e^{\alpha x}[R_m^{(1)}(x)\cos\beta x+R^{(2)}_m(x)\sin\beta x]$$

其中$R_m^{(1)}(x),R_m^{(2)}(x)$是两个$x$的$m$次多项式，$m=\max{l,n}$，当$\alpha\pm\beta i$不是齐次方程的特征根时，取$k=0$；当$\alpha\pm\beta i$是齐次方程的特征根时，取$k=1$

 

再根据定理5即可得到通解

 

例3：求微分方程$y''+y=x\cos2x$的通解

 

齐次方程，

$$

y''+y=0\Rightarrow \lambda^2+1=0\Rightarrow \lambda_{1,2}=0\pm i

$$

因此

$$

y_{\text{齐通}}=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)=C_1\cos x+C_2\sin x

$$

设

$$

\begin{aligned}

y^{*}&=e^{\alpha x}x^0[(ax+b)\cos2x+(cx+d)\sin2x]=(ax+b)\cos2x+(cx+d)\sin2x\

y'^{*}&=\sin 2x(-2ax-2b+c)+\cos2x(2cx+2d+a)\

y''^{*}&=\sin2x(-4cx-4d-4a)+\cos2x(-4ax-4b+4c)

\end{aligned}

$$

将$y^{},y'^{},y''^{*}$代入微分方程

$$

\sin2x(-3cx-3d-4a)+\cos2x(-3ax-3b+4c)=x\cos2x

$$

有

$$

\begin{cases}-3c=0\-3d-4a=0\3-3a=1\-3b+4c=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a=-\frac13\b=0\c=0\end{cases}

$$

故

$$

y^{*}=-\frac13x\cos2x+\frac49\sin2x

$$

故

$$

\begin{aligned}

y_{\text{非齐通}}&=y_{\text{齐通}}+y*\

&=C_1\cos x+C_2\sin x-\frac12x\cos2x+\frac49\sin2x\

&(C_1,C_2\text{为任意常数})

\end{aligned}

$$

 

例4：求微分方程$y''+5y'+4y=3-2x$的通解

 

齐次方程，

$$

y''+5y'+4y=0\Rightarrow \lambda^2+5\lambda+4=0\Rightarrow\lambda_1=-1,\lambda_2=-4

$$

故

$$

y_{\text{齐通}}=C_1e^{-x}+C_2e^{-4x}

$$

设

$$

\begin{aligned}

y^{*}&=x^0(ax+b)=ax+b\

y'^{*}&=a\

y''^{*}&=0

\end{aligned}

$$

将$y^{},y'^{},y''^{*}$代入微分方程$y''+5y'+4y=3-2x$中

解得

$$

\begin{cases}a=-\frac12\b=\frac{11}8\end{cases}

$$

故

$$

y*=-\frac12x+\frac{11}8

$$

故

$$

y_{\text{非齐通}}=y_{\text{齐通}}+y^{*}=C_1e^{-x}+C_2e^{-4x}-\frac12x+\frac{11}8

$$

 

欧拉方程$x^{n}y^{(n)}+a_{1}x^{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{n-1}xy'+a_{n}y=f(x)$

令$x=e^{t}$

$$

\begin{aligned}

y'&=\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt} \frac{dt}{dx}=\frac{1}{x} \frac{dy}{dt}\

xy'&=\frac{dy}{dt}\

y''&=\frac{d^{2}y}{dt^{2}} \frac{1}{x^{2}}- \frac{1}{x^{2}} \frac{dy}{dt}\

x^{2}y''&=\frac{d^{2}y}{dt^{2}}- \frac{dy}{dt}

\end{aligned}

$$

记$D= \frac{d}{dt}$，则有

$$

\begin{aligned}

xy'&=Dy\

x^{2}y''&=D^{2}y-Dy=D(D-1)y

\end{aligned}

$$

类似地

$$

x^{k}y^{(k)}=D(D-1)\cdots (D-k+1)y

$$

 

例5：欧拉方程$\begin{aligned} x^{2} \frac{d^{2}y}{dx^{2}}+4x \frac{dy}{dx}+2y=0\end{aligned}(x>0)$

 

令$x=e^{t}$，有

$$

\begin{aligned}

D(D-1)y+4Dy+2y&=0\

D^{2}y+3Dy+2y&=0

\end{aligned}

$$

对应特征方程

$$

r^{2}+3r+2=0\Rightarrow r_{1}=-1,r_{2}=-2

$$

有

$$

y=C_{1}e^{-t}+C_{2}e^{-2t}=\frac{C_{1}}{x}+ \frac{C_{2}}{x^{2}}

$$

 

五、差分方程

一阶常系数线性齐次差分方程$y_{t+1}+ay_{t}=0$

通解为

$$

y_{c}(t)=C \cdot (-a )^{t}

$$

 

一阶常系数线性非齐次差分方程$y_{t+1}+ay_{t}=f(t)$

通解为

$$

y_{t}=y_{c}(t)+y ^{*}_{t}

$$

分两种情况讨论

$f(t)=P_{m}(t)$

若$a \ne -1$，令

$$

y_{t}^{*}=Q_{m}(t)

$$

若$a=-1$，令

$$

y_{t}^{*}=tQ_{m}(t)

$$

 

$f(t)=d^{t}\cdot P_{m}(t)(d \ne 0)$

若$a+d \ne 0$，令

$$

y_{t}^{*}=d^{t}\cdot Q_{m}(t)

$$

若$a+d=0$，令

$$

y_{t}^{*}=td^{t}\cdot Q_{m}(t)

$$

 

例6：差分方程$y_{t+1}-2y_{t}=2^{t}$的通解为（）

 

齐次方程的通解为

$$

y_{c}(t)=C \cdot 2^{t}

$$

令$y_{t}^{*}=at2^{t}$，代入原方程得

$$

a(t+1)2^{t+1}-2at2^{t}=2^{t} \Rightarrow  a=\frac{1}{2}

$$

原方程通解为

$$

y_{t}=C2^{t}+ \frac{1}{2}t2^{t}

$$

 

常考题型与典型例题

微分方程求解

例7：微分方程$xy'+y(\ln x-\ln y)=0$满足条件$y(1)=e^{3}$的解为$y=()$

 

原式两边同除$x$

$$

y'= \frac{y}{x}\ln \frac{y}{x}

$$

令$u= \frac{y}{x}$

$$

\begin{aligned}

u'&= \frac{u(\ln u-1)}{x}\

\ln \left|\ln u-1\right|&=\ln x+C\

\ln u-1&=Cx\

\ln \frac{y}{x}-1&=Cx\

\end{aligned}

$$

由$y(1)=e^{3}\Rightarrow C=2$，则

$$

\begin{aligned}

\ln \frac{y}{x}-1&=2x\

y&=xe^{2x+1}

\end{aligned}

$$

 

例8：微分方程$ydx+(x-3y^{2})dy=0$满足条件$y \Big|_{x=1}^{}=1$的解为$y=()$

 

本题可以用全微分方程的方式，但现在暂时未涉及到相关知识，该种方法会在以后补充

观察本题，现在对于$y$不满足三类的任一一种，一般有两种常用思路：考虑$x,y$对调；做变量代换

 

$$

\begin{aligned}

ydx+(x-3y^{2})dy&=0\

\frac{dx}{dy}+ \frac{x}{y}&=3y\

x&=e^{-\int_{}^{} \frac{1}{y}dy}\left[\int_{}^{}3ye^{\int_{}^{}\frac{1}{y}dy} dy+C\right]\

&= \frac{1}{y}[y^{3}+C]\

代入x=1,y=1\Rightarrow C&=0\\Rightarrow x&=y^{2}\

\Rightarrow y&=\pm \sqrt{x}\

&由于x=1,y=1\

y&=\sqrt{x}

\end{aligned}

$$

 

例8：微分方程$y''+2y'+3y=0$的通解为$y=()$

 

$$

\begin{aligned}

特征方程\quad r^{2}+2r+3&=0\Rightarrow r_{1,2}=-1\pm \sqrt{2}i\

y&=e^{-1}(C_{1}\cos \sqrt{2}x+C_{2}\sin \sqrt{2}x)

\end{aligned}

$$

 

例9：微分方程$y''-4y'+8y=e^{2x}(1+\cos 2x)$的特解可设为$y ^{*}=()$

 

根据定理4

 

定理4：如果$y^{}_{1}(x),y^{}_{2}$分别是方程

$$\begin{aligned}y''+p(x)y'+q(x)y=f_{1}(x)\y''+p(x)y'+q(x)y=f_{2}(x)\end{aligned}$$

的特解，则

$$y^{}_{1}(x)+y^{}_{2}$$

是方程$y''+p(x)y'+q(x)y=f_{1}(x)+f_{2}(x)$的一个特解

 

原微分方程可分解为

$$

\begin{aligned}

y''-4y'+8y&=e^{2x}\

y''-4y'+8y&=e^{2x}\cos 2x

\end{aligned}

$$

因此

$$

\begin{aligned}

特征方程\quad r^{2}-4r+8&=0\

r_{1,2}&=\frac{4+\pm \sqrt{-16}}{2}=2 \pm 2i\

对于y''-4y'+8y&=e^{2x}\

y^{*}&=C_{1}e^{2x}\

对于y''-4y'+8y&=e^{2x}\cos 2x \

y^{*}&=xe^{2x}[C_{2}\cos 2x+C_{3}\sin 2x]\

y^{*}&=C_{1}e^{2x}+xe^{2x}[C_{2}\cos 2x+C_{3}\sin 2x]

\end{aligned}

$$

 

例10：设$y= \frac{1}{2}e^{2x}+(x- \frac{1}{3})e^{x}$是二阶常系数非齐次线性方程微分方程$y''+ay'+by=ce^{x}$的一个特解，求$a,b,c$

 

$y= \frac{1}{2}e^{2x}+(x- \frac{1}{3})e^{x}$是$y''+ay'+by=ce^{x}$的一个特解，根据定理2

 

定理2：如果$y^{*}$是非齐次方程的一个特解，$y_{1}(x)$和$y_{2}(x)$是齐次方程的两个线性无关的特解，则

$$y=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)+y^{*}(x)$$

是非齐次方程的通解

即$y= \frac{1}{2}e^{2x}+(x- \frac{1}{3})e^{x}$有一个非齐次的特解，两个齐次的特解，因此需要进行判断

判断前，建议先分成三项

以下 是判断过程，可以省略

$$y=\frac{1}{2}e^{2x}+xe^{x}- \frac{1}{3}e^{x}$$

如果$\frac{1}{2}e^{2x}$是非齐次方程的一个特解，不管系数，代入$y''+ay'+by=ce^{x}$

$$Ae^{2x}=Be^{x}$$

显然不成立，因此$\frac{1}{2}e^{2x}$是齐次方程的一个特解

如果$xe^{x}$是非齐次方程的一个特解，显然代入不好判断，考虑其实齐次方程的一个特解的可能性，如果$xe^{x}$是齐次方程的一个特解，那么$1$一定是对应特征方程的二重根，由于之前已经确定齐次方程的一个特解为$\frac{1}{2}e^{2x}$，因此，其不是齐次方程的一个特解，$xe^{x}$是非齐次方程的一个特解

剩余的$- \frac{1}{3}e^{x}$一定是齐次方程的一个特解

 

可知$y_{1}=e^{2x},y_{2}=e^{x}$是齐次方程的两个线性无关的解，$y^{*}xe^{x}$是非齐次方程的一个解，因此齐次方程的特征方程为

$$

(r-1)(r-2)=0\Rightarrow a=-3,b=2

$$

将$y=xe^{x}$代入$y''-3y'+2y=ce^{x}$，可得$c=-1$

 

综合题

例11：设$y=f(x)$是微分方程$y''-y'-e^{\sin x}=0$的解，且$f'(x_{0})=0$，说明$f(x)$在$x_{0}$处取得极小值

 

将$x_{0}$代入微分方程

$$

f''(x_{0})=e^{\sin x_{0}}>0

$$

因此$f(x)$在$x_{0}$处取得极小值

 

有关微分方程的综合题有时需不要把解求出来

 

例12：设$y=y(x)$是二阶常系数微分方程$y''+py'+qy=e^{3x}$满足初始条件$y(0)=y'(0)=0$的特解，则当$x \to 0$时，函数$\frac{\ln (1+x^{2})}{y(x)}$的极限为（）

 

由$y''+py'+qy=e^{3x}$知$y''(x)$连续且$y''(0)=1$

 

由于$py',qy,e^{3x}$连续，因此$y''$连续

 

$$

\begin{aligned}

\lim\limits_{x \to 0}\frac{\ln (1+x^{2})}{y(x)}&=\lim\limits_{x\to0} \frac{x^{2}}{y(x)}=\lim\limits_{x\to0} \frac{2x}{y'(x)}=\lim\limits_{x\to0} \frac{2}{y''(x)}=\frac{2}{y''(0)}=2

\end{aligned}

$$

 

例13：已知连续函数$f(x)$满足条件$f(x)=\int_{0}^{3x}f(\frac{t}{3})dt+e^{2x}$，求$f(x)$

 

未知函数在积分里面叫做积分方程，解积分方程的一般方法两边同时求导，化为微分方程

 

两边同时求导

$$

\begin{aligned}

f'(x)&=3f(x)+2e^{2x}\

f'(x)-3f(x)&=2e^{2x}\

f(x)&=e^{3x}(-2e^{-x}+C)=Ce^{3x}-2e^{2x}\quad \text{(1)}

\end{aligned}

$$

当$x=0$时，代入题目条件

$$

\begin{aligned}

f(0)&=\int_{0}^{0}f(\frac{t}{3})dt+e^{2x}\

f(0)&=1

\end{aligned}

$$

将$f(0)=1$代入$(1)$，得$C=2$，因此

$$

f(x)=3e^{3x}-2e^{2x}

$$

 

例14：设函数$f(x)$连续，且满足$\begin{aligned} \int_{0}^{x}f(x-t)dt=\int_{0}^{x}(x-t)f(t)dt+e^{-x}-1\end{aligned}$，求$f(x)$的表达式

 

令$u=x-t$，则$\begin{aligned} \int_{0}^{x}f(x-t)dt=\int_{0}^{x}f(u)du\end{aligned}$

$$

\begin{aligned}

\int_{0}^{x}f(u)du&=x \int_{0}^{x}f(t)dt-\int_{0}^{x}tf(t)dt+e^{-x}-1\

&两端求导\

f(x)&=\int_{0}^{x}f(t)dt-e^{-x}\quad 令x=0,f(0)=-1\

f'(x)-f(x)&=e^{-x}\

f(x)&=Ce^{x}-\frac{e^{-x}}{2}\

&代入f(0)=-1,得C=- \frac{1}{2}\

f(x)&=- \frac{e^{x}+e^{-x}}{2}

\end{aligned}

$$

 

应用题

例15：设函数$f(x)$在定义域$I$上的导数大于零，若对于任意的$x_{0}\in I$，曲线$y=f(x)$在点$(x_{0},f(x_{0}))$处的切线与直线$x=x_{0}$及$x$轴所围成区域的面积恒为$4$，且$f(0)=2$，求$f(x)$的表达式

 

曲线$y=f(x)$在点$(x_{0},f(x_{0}))$处的切线方程为

$$

\begin{aligned}

y-f(x_{0})&=f'(x_{0})(x-x_{0})\

&令y=0\

x&=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}

\end{aligned}

$$

因此该面积为

$$

\begin{aligned}

S&= \frac{1}{2}\frac{\left|f(x_{0})\right|}{f'(x_{0})}\cdot |f(x_{0})|=4\

&记y=f(x_{0}),则\

\frac{1}{2}y^{2}&=4y'\- \frac{8}{y}&=x+C\

&代入y(0)=2\

C&=-4\quad 带回上式\

y&=\frac{8}{4-x}

\end{aligned}

$$

 

例16：设非负函数$y=y(x)(x \geq 0)$满足微分方程$xy''-y'+2=0$。当曲线$y=y(x)$过原点时，其与直线$x=1$及$y=0$围成的平面区域$D$的面积为$2$，求$D$绕$y$轴旋转所得旋转体的体积

 

记$y'=p$，则$y''=p'$，代入微分方程得

$$

\begin{aligned}

p'- \frac{1}{x}p&=- \frac{2}{x}\quad (x>0)\

y'=p&=e^{\int_{}^{} \frac{1}{x}dx}(\int_{}^{} - \frac{1}{x}e^{\int_{}^{}- \frac{1}{x}dx}dx +C_{1})\

&=2+C_{1}x\

y&=2x+ \frac{1}{2}C_{1}x^{2}+C_{2}

\end{aligned}

$$

由方程$xy''-y'+2=0\quad (x \geq 0)$，可知$y$在$x=0$处连续。由$y(0)=0$，有

$$

\lim\limits_{x\to0^{+}}y=0 \Rightarrow C_{2}=0\Rightarrow y=2x+ \frac{1}{2}C_{1}x^{2}

$$

 

由于上面出现了$\begin{aligned} \frac{1}{x}\end{aligned}$，因此此处不能直接把$x=0$代入方程

由于一阶导数在$x=0$处存在，因此$y$在$x=0$处连续，可以用逼近的方式求

 

由与直线$x=1$及$y=0$围成的平面区域$D$的面积为$2$

$$

2=\int_{0}^{1}\left(2x+ \frac{1}{2}C_{1}x^{2}\right)dx=1+ \frac{1}{6}C_{1}\Rightarrow C_{1}=6

$$

故

$$

y=2x+3x^{2}

$$

旋转体体积为

$$

V=2 \pi \int_{0}^{1}xy(x)dx= \frac{17\pi}{6}

$$

 

一般应用考的较多的就是定积分的应用，和微分方程的应用