【高等数学】微分方程

微分方程的基本概念

微分方程：含有未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程，有时也简称方程

微分方程的阶：微分方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数，叫做微分方程的阶

微分方程的解：找出这样的一个函数，把这个函数带入微分方程使该方程称为恒等式，这个函数就叫做微分方程的解

微分方程的通解：如果微分方程的解中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解。即几阶微分方程，通解中就会有几个任意常数

初值条件：由于通解中含有任意常数，为了确定任意常数的值，引入初值条件，例如：如果微分方程是一阶的，确定任意常数的条件是$y|_{x=x_0}=y_0$，如果微分方程是二阶的，确定任意常数的条件为$y|_{x=x_0}=y_0,y'|_{x=x_0}=y'_0$，其中$x_0,y_0,y'_0$都是给定的值，上述条件即为初值条件，通过初值条件可以确定通解中的任意常数，所得到的就是微分方程的特解。由于几阶微分方程就含有几个任意常数，所以就需要知道几个初值条件

可分离变量的微分方程

一、可分离变量的微分方程的定义

如果一个一阶微分方程能写成$g(y)dy=f(x)dx$的形式，也就是说，能把微分方程写成一端只含的函数和$dy$，另一端只含$x$的函数和$dx$，那么原方程就称为可分离变量的微分方程

二、求解分离变量的微分方程的方法

1. 将微分方程化为$g(y)dy=f(x)dx$
2. 将上式两端同时积分得$\int g(y)dt=\int f(x)dx$
3. 设$G(x)$及$F(x)$依次为$g(y)$及$f(x)$的原函数，得$G(y)=F(x)+C$

例1：求微分方程$\sec^2x\tan ydx+\sec^2y\tan xdy=0$的通解

$\begin{aligned}\sec^2x\tan ydx+\sec^2y\tan xdy&=0\\\Rightarrow \sec^2y\tan xdy&=-\sec^2x\tan ydx\\\int\frac{\sec^2y}{\tan y}dy&=-\int\frac{\sec^2x}{\tan x}dx\\\ln|\tan y|&=-\ln|\tan x|+\ln C_1\\\tan y\tan x&=C\quad C\text{(为任意常数)}\end{aligned}$

齐次方程

一、齐次方程的定义

如果一阶微分方程可以化为$\frac{dy}{dx}=f(\frac yx)$的形式，那么就称该微分方程为齐次方程。例如$(xy-y^2)dx-(x^2-2xy)dy=0$可化为$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac yx-(\frac yx)^2}{1-2(\frac yx)}$

二、求解齐次方程的方法

1. 将原微分方程化为$\frac{dy}{dx}=f(\frac yx)$的形式
2. 令$u(x)=\frac yx$，则$y=ux$，$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$
3. 原微分方程可化为$u+x\frac{du}{dx}=f(u)$，将其分离变量得$\frac{du}{f(u)-u}=\frac{dx}{x}$，两边同时积分得$\int\frac{du}{f(u)-u}=\int\frac{dx}x$
4. 求出积分之后，将$\frac yx$代替$u$，得到齐次方程的通解

例1：求齐次微分方程$(1+2e^\frac xy)dx+2e^\frac xy(1-\frac xy)dy=0$的通解

原方程化为，$\frac{dx}{dy}=\frac{2e^\frac xy(\frac xy-1)}{1+2e^\frac xy}$

令$\frac xy=u,x=uy,\frac{dx}{dy}=u+y\frac{du}{dy}$

原微分方程化为，

$\begin{aligned}u+y\frac{du}{dy}&=\frac{2e^u(u-1)}{1+2e^u}\\\frac{1+2e^u}{u+2e^u}du&=-\frac1ydy\\\ln|u+2e^u|&=\ln|y|^{-1}+\ln C_1\\y(u+2e^u)&=C\\y(\frac xy+2e^\frac xy)&=C\\x+2ye^\frac xy-C&=0\quad C\text{(为任意常数)}\end{aligned}$

一阶线性微分方程

一、一阶线性齐次微分方程

1. 一阶线性齐次微分方程的一般形式

一阶微分方程可以化成$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$的形式，称为一阶线性齐次微分方程

2. 一阶线性齐次微分方程的通解形式

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$的通解为$y=Ce^{-\int P(x)dx}$

推导：

$\begin{aligned}\frac{dy}{dx}&=-P(x)y\\\int\frac{dy}y&=-\int P(x)dx\\\ln|y|&=-\int P(x)dx+C\\|y|&=C\cdot e^{-\int P(x)dx}\\y&=\pm C\cdot e^{-\int P(x)dx}\\y&=C\cdot e^{-\int P(x)dx}\end{aligned}$

二、一阶线性非齐次微分方程

1. 一阶线性非齐次微分方程的一般形式

一阶微分方程可以化为$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)\quad\text{(}Q(x)\text{不恒等于}0\text{)}$的形式，称为一阶线性非齐次微分方程

2. 一阶线性非齐次微分方程通解形式

$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$的通解为$y=e^{-\int P(x)dx}[\int^Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C]$

推导：

令$y=u\cdot v$

$u'v+u(v'+P(x)v)=Q(x)\quad\text{(1)}$

令$v'+P(x)v=0\Rightarrow v=C_1e^{-\int P(x)dx}$

代入(1)

$\begin{aligned}u'\cdot C_1e^{-\int P(x)dx}&=Q(x)\\\frac{du}{dx}\cdot C_1e^{-\int P(x)dx}&=Q(x)\quad\text{(可分离变量的微分方程)}\\u&=\frac1{C_1}\cdot \int e^{-\int P(x)dx}\cdot Q(x)dx+C_2\end{aligned}$

$\begin{aligned}y=u\cdot v=e^{-\int P(x)dx}[\int^Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C]\quad(C=C_1\cdot C_2)\end{aligned}$

例1：求微分方程$\frac{dy}{dx}=\frac1{x+y}$的通解

原式化为：

$\frac{dx}{dy}-x=y$

$x=e^{-\int(-1)dy}[\int ye^{\int(-1)dy}dy+C]=(-y-1)+C\cdot e^y\quad\text{(}C\text{为任意常数)}$

三、伯努利方程

1. 伯努利方程的一般形式

方程$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n(\text{或}y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x))\quad(n\ne0,1)$，叫做伯努利方程

2. 求法及通解形式

1. 将等式两端同除$y^n$，得$y^{-n}\frac{dy}{dx}+P(x)y^{1-n}=Q(x)\quad\text{(1)}$
2. 令$z=y^{1-n}$，那么$\frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}$
3. 将$(1-n)$乘在(1)式两端，经过代换变成$\frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)$，解出方程的通解，再将$z$用$y^{1-n}$代换，得到方程的通解

例2：求方程$\frac{dy}{dx}+\frac yx=a(\ln x)y^2$的通解

等式两端同除$y^2$得，$y^{-2}\frac{dy}{dx}+\frac1xy^{-1}=a\ln x$

令$z=y^{-1}$，得，$\frac{dz}{dx}=(-1)y^{-2}\frac{dy}{dx}$

代入原微分方程得

$\begin{aligned}-\frac{dz}{dx}+\frac1x\cdot x&=a\ln x\\z&=e^{-\int(\frac1x)dx}[\int(-a\ln x)e^{\int(-\frac1x)dx}dx+C]\\z&=x[-a\frac{\ln^2x}{2}+C]\end{aligned}$

将$z=y^{-1}$代入得$xy(-\frac a2\ln^2x+C)-1=0\quad\text{(}C\text{为任意常数)}$

可降阶的高阶微分方程

一、$y^{(n)}=f(x)$的微分方程

求法

将微分方程$y^{(n)}=f(x)$的两端同时$x$积分得$y^{(n-1)}=\int f(x)dx+C_1$，再对等式两边同时积分得$y^{(n-2)}=\int[\int f(x)dx+C_1]dx+C_2$，连续积分$n$次，得到方程含有$n$个任意常数的通解

例1：求微分方程$y'''=e^{2x}-\cos x$的通解

$y''=\int(e^x-\cos x)dx=\frac12e^{2x}-\sin x+C_1$

$y'=\int(\frac12e^{2x}-\sin x+C_1)dx=\frac14e^{2x}+\cos x+C_1x+C_2$

$y=\int(\frac14e^{2x}+\cos x+C_1x+C_2)dx=\frac18e^{2x}+\sin x+\frac12C_1+C_2x+C_3$

故通解为$y=\frac18e^{2x}+\sin x+Cx^2+C_2x+C_3\quad\text{(}C,C_2,C_3\text{为任意常数)}$

二、$y''=f(x,y')$型的微分方程

即缺$y$的微分方程、不显含$y$的微分方程

求法

1. 令$y'=p$，则$y''=\frac{dp}{dx}=p'$
2. 原微分方程变为$\frac{dp}{dx}=f(x,p)$，解微分方程得$p=p(x,C_1)$
3. 由于$\frac{dy}{dx}=p$，则$\frac{dy}{dx}=p(x)$，解得$y=\int p(x,C_1)dx+C_2$

例2：求微分方程$(1+x^2)y''=2xy'$满足初值条件$y|_{x=0}=1,y'|_{x=0}=3$的特解

令$y'=p$，故$y''=\frac{dp}{dx}$

则微分方程可化为

$\begin{aligned}(1+x^2)\frac{dp}{dx}&=2xp\\\int\frac{dp}p&=\int\frac{2x}{1+x^2}dx\\\ln|p|&=\ln(1+x^2)+\ln C_1\end{aligned}$

故$\frac{dy}{dx}=p=C_2(1+x^2)$

又$\because$ 当$x=0$时，$y'(0)=3$

解得，$y'(0)=C_2(1+0)=3$

则，$y'(x)=3(1+x^2)$

$y(x)=\int3(1+x^2)dx=3x+x^3+C_3$

有$\because y(0)=1$

解得，$C_3=1$

$\therefore y(x)=x^3+3x+1$

三、$y''=f(y,y')$型的微分方程

即缺$x$的微分方程、不显含$x$的微分方程

求法

1. 令$y'=p$，则$y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$
2. 原微分方程变为$p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$，解微分方程得$p=p(y,C_1)$
3. 由于$\frac{dy}{dx}=p$，再对其分离变量，解得微分方程的通解

例3：求微分方程$yy''-y'^2=0$的通解

令$y'=p$，故$y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy}$

$yp\frac{dp}{dy}-p^2=0$

当$p=0$时，则$y\equiv C$

当$p\ne 0$时，$y\frac{dp}{dy}=p$

$\ln|p|=\ln|y|+\ln|C_1|\Rightarrow p=C_1y$

故$\frac{dy}{dx}-C_1y=0\Rightarrow y=C_2e^{C_1x}$

当$C_1\equiv0$时，$y\equiv C_2$为通解

故通解为$y=C_2e^{C_1x}\quad\text{(}C\text{为任意常数)}$

高阶线性微分方程

一、线性微分方程解的结构

对于二阶齐次线性方程$y''+P(x)y'+Q(x)y=0\quad(1)$，二阶非齐次线性方程$y''+P(x)y'+y=f(x)\quad(2)$

定理1：如果函数$y_1(x)$与$y_2(x)$都是方程$(1)$的两个解，那么$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$也是方程$(1)$的解，其中$C_1,C_2$是任意常数。即，齐次方程的解成倍数相加减仍为齐次方程的解

证明：

$\begin{cases}C_1y_1''+P(x)C_1y_1'+Q(x)C_1y_1=0\Rightarrow (C_1y_1)''+P(x)(C_1y_1)'+Q(x)\\(C_1y_1)=0C_2y_2''+P(x)C_2y_2'+Q(x)C_2y_2=0\Rightarrow (C_2y_2)''+P(x)(C_2y_2)'+Q(x)(C_2y_2)=0\end{cases}$

$(C_1y_1+C_2y_2)''+P(x)(C_1y_1+C_2y_2)'+Q(x)(C_1y_1+C_2y_2)=0$

令$C_1y_1+C_2y_2=Y$

$Y''+P(x)Y'+Q(x)Y=0$

显然$Y$是方程$(1)$的解

定理2：如果$y_1(x)$与$y_2(x)$方程$(1)$的两个线性无关的特解，那么$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)\quad(C_1,C_2\text{是任意常数})$就是方程(1)的通解

推论：如果$y_1(x),y_2(x),\cdots,y_n(x)$是$n$阶其次线性方程$y^{(n)}+a_1(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_{n-1}y'+a(x)y=0$的$n$个线性无关的解，那么此方程的通解为$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+\cdots+C_ny_n(x)$，其中$C_1,C_2,\cdots,C_n$为任意常数

定理3：设$y^*(x)$是二阶非齐次线性方程(2)的一个特解，$Y(x)$是方程$(2)$对应的齐次方程(1)的通解，则$y=Y(x)+y^*(x)$是二阶非齐次线性微分方程的通解

证明：

$\begin{cases}Y''+P(x)Y'+Q(x)Y=0\\y^{*''}+P(x)y^{*'}+Q(x)y^{*}=f(x)\end{cases}$

$(Y+y^*)''+P(x)(Y+y^*)'+Q(x)(Y+y^*)=f(x)$

故$(Y+y^*)$是二阶非齐次线性微分方程的通解

定理4：设非齐次线性方程$(2)$的右端$f(x)$是两个函数之和，即$y''+P(x)y'+y=f_1(x)+f_2(x)\quad(3)$，且$y_1^*与y_2^*$分别是方程$y''+P(x)y'+y=f_1(x)$与$y''+P(x)y'+y=f_2(x)$的特解，则$y_1^*+y_2^*$是方程$(2)$的特解

证明：

$\begin{cases}f(x)=f_1(x)+f_2(x)\\(y_1^*)''+P(x)(y_1^*)'+Q(x)y_1^*=f_1(x)\quad\text{[1]}\\(y_2^*)''+P(x)(y_2^*)'+Q(x)y_2^*=f_2(x)\quad\text{[2]}\end{cases}$

$[1]+[2]$得

$(y_1^*+y_2^*)''+P(x)(y_1^*+y_2^*)'+Q(x)(y_1^*+y_2^*)=f_1(x)+f_2(x)=f(x)$

令$Y=y_1^*+y_2^*$

则$Y''+P(x)Y'+Q(x)Y=f(x)$

二、二阶常系数齐次线性微分方程

1. 定义

在二阶齐次线性微分方程$y''+P(x)y'+Q(x)y=0$中，如果$y',y$的系数$P(x),Q(x)$均为常数，即$y''+py'+qy=0$，其中$p,q$是常数，那么就称其为二阶常系数齐次线性微分方程

2. 求法及通解形式

1. 写出微分方程的特征方程$\lambda^2+p\lambda+q=0$。即，将$y''+py'+q=0$中y的几阶导数就变为$\lambda$的几次方
2. 求出特征方程的两个根$\lambda_1,\lambda_2$
3. 根据特征根的不同形式，写出微分方程的通解

特征方程$y',y$的两个根$y',y$	微分方程$y',y$的通解
两个不相等的实根$y',y$	$y',y$
两个相等的实根$y',y$	$y',y$
一对共轭复根$y',y$	$y',y$

三、高阶常系数齐次线性微分方程

1. 一般形式

$n$阶常系数齐次线性微分方程的一般形式是$y^{(n)}+p_1y^{(n-1)}+p_2y^{(n-2)}+\cdots+p_{n-1}y'+p_ny=0$，其中$p_1,p_2,\cdots,p_{n-1},p_n$都是常数

特征方程的根	微分方程通解中的对应项
单实数$y',y$	给出一项：$y',y$
一对单复根$y',y$	给出两项：$y',y$
$y',y$重实根$y',y$	给出$y',y$项：$y',y$
一对$y',y$重复根$y',y$	给出$y',y$项：$y',y$

例1：设高阶常系数齐次线性微分方程的特征根是$\lambda_1=2,\lambda_2=\lambda_3=3,\lambda_{4,5}=1\pm i,\lambda_{6,7}=2\pm 3i,\lambda_{8,9}=2\pm 3i$

$y_{\text{齐通}}=C_1e^{2x}+e^{3x}(C_2+C_3x)+e^x(C_4\cos x+C_5\sin x)+e^{2x}[(C_6+C_7x)\cos3x+(C_8+C_9x)\sin3x]$

例2：求方程$y^{(4)}-2y'''+5y''=0$的通解

解特征方程，$\lambda^4-2\lambda^3+5\lambda^2=0\Rightarrow\lambda^2(\lambda^2-2\lambda+5)=0$

解得，$\lambda_1=\lambda_2=0，\lambda_{3,4}=\frac{2\pm\sqrt{4-20}}{2}=1\pm2i$

故$y_{\text{齐通}}=C_1+C_2x+e^x[C_3\cos 2x+C_4\sin 2x]$

四、二阶常系数非齐次线性微分方程

1. 定义

在二阶非齐次线性微分方程$y''+P(x)y'+Q(x)y=f(x$)中，如果$y',y$的系数$P(x),Q(x)$均为常数，即$y''+py'+qy=f(x)$，其中$p,$q是常数，那么就称其为二阶常系数非齐次线性微分方程

2. 求法及通解形式

1. 先求二阶常系数齐次线性微分方程的通解

（得到$\lambda_1,\lambda_2$）

• 当$f(x)=e^{\lambda x}P_m(x)$时，$P_m(x$)为$x$的$m$次多项式，则微分方程的特解可设为$y^*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x}$，其中$Q_m(x)$是与$P_m(x)$同次的多项式，$k$是特征方程含根$\lambda$的重数

（$y^*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x}$中的$\begin{cases}e^{\lambda x}\text{照抄}\\x^k\text{中的}k=\begin{cases}0,\lambda_1\ne\lambda\text{且}\lambda\ne\lambda\\1,\lambda_1=\lambda,\lambda_2\ne\lambda\text{或}\lambda_2=\lambda,\lambda_1\ne\lambda\\2,\lambda_1=\lambda_2=\lambda\end{cases}\\Q_m(x)\text{是设的与}P_m(x)\text{同次多项式}\end{cases}$）

- 当$f(x)=e^{\alpha x}[P_l(x)\cos\beta x+P_n(x)\sin\beta x]$时，其中$P_l(x),P_n(x)$分别为$x$的$l$次，$n$次多项式，则微分方程的特解可设为$y^*=x^ke^{\alpha x}[R_m^{(1)}(x)\cos\beta x+R^{(2)}_m(x)\sin\beta x]$，其中$R_m^{(1)}(x),R_m^{(2)}(x)$是两个$x$的$m$次多项式，$m=\max\{l,n\}$，当$\alpha\pm\beta i$不是齐次方程的特征根时，取$k=0$；当$\alpha\pm\beta i$是齐次方程的特征根时，取$k=1$

再根据定理3即可得到通解

例3：求微分方程$y''+y=x\cos2x$的通解

齐次方程，$y''+y=0\Rightarrow \lambda^2+1=0\Rightarrow \lambda_{1,2}=0\pm i$

$y_{\text{齐通}}=y=e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)=C_1\cos x+C_2\sin x$

设$y*=e^{\alpha x}x^0[(ax+b)\cos2x+(cx+d)\sin2x]=(ax+b)\cos2x+(cx+d)\sin2x$

$y*'=\sin 2x(-2ax-2b+c)+\cos2x(2cx+2d+a)$

$y*''=\sin2x(-4cx-4d-4a)+\cos2x(-4ax-4b+4c)$

将$y*,y*''$代入微分方程

$\sin2x(-3cx-3d-4a)+\cos2x(-3ax-3b+4c)=x\cos2x$

$\begin{cases}-3c=0\\-3d-4a=0\\3-3a=1\\-3b+4c=0\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}a=-\frac13\\b=0\\c=0\end{cases}$

故$y*=-\frac13x\cos2x+\frac49\sin2x$

故$y_{\text{非齐通}}=y_{\text{齐通}}+y*=C_1\cos x+C_2\sin x-\frac12x\cos2x+\frac49\sin2x\quad(C_1,C_2\text{为任意常数})$

例4：求微分方程$y''+5y'+4y=3-2x$的通解

齐次方程，$y''+5y'+4y=0\Rightarrow \lambda^2+5\lambda+4=0\Rightarrow\lambda_1=-1,\lambda_2=-4$

故$y_{\text{齐通}}=C_1e^{-x}+C_2e^{-4x}$

设$y*=x^0(ax+b)=ax+b$

$y*'=a$

$y*''=0$

将$y*,y*,y*''$代入微分方程$y''+5y'+4y=3-2x$中

解得$\begin{cases}a=-\frac12\\b=\frac{11}8\end{cases}$

故$y*=-\frac12x+\frac{11}8$

故$y_{\text{非齐通}}=y_{\text{齐通}}+y*=C_1e^{-x}+C_2e^{-4x}-\frac12x+\frac{11}8$