题目描述
小易非常喜欢拥有以下性质的数列:
1、数列的长度为n
2、数列中的每个数都在1到k之间(包括1和k)
3、对于位置相邻的两个数A和B(A在B前),都满足(A <= B)或(A mod B != 0)(满足其一即可)
例如,当n = 4, k = 7
那么{1,7,7,2},它的长度是4,所有数字也在1到7范围内,并且满足第三条性质,所以小易是喜欢这个数列的
但是小易不喜欢{4,4,4,2}这个数列。小易给出n和k,希望你能帮他求出有多少个是他会喜欢的数列。
输入描述:
输入包括两个整数n和k(1 ≤ n ≤ 10, 1 ≤ k ≤ 10^5)
输出描述:
输出一个整数,即满足要求的数列个数,因为答案可能很大,输出对1,000,000,007取模的结果。
示例1
输入
2 2
输出
3
思路：定义dp[i][j]表示构造到第i个数并且第i个数为j的方案数。直接递推即可，状态方程为dp[i][j]+=dp[i-1][k]，由于i，j，k三个变量需要三层for循环，因此需要进一步优化，我们考虑通过临时变量将上一个位置的所有状态求和，并通过素数筛选方法将不合法的状态减去，从而求出当前位置的合法方案数。
import java.util.*;
public class Main{
private static final int mod=1000000007;
public static void main(String[] args){
int n,k;
Scanner in=new Scanner(System.in);
n=in.nextInt();
k=in.nextInt();
int[][] dp=new int[n+1][k+1];
for(int i=1;i<=k;i++)
dp[1][i]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
int sum=0;
for(int j=1;j<=k;j++)
sum=(sum+dp[i-1][j])%mod;
for(int j=1;j<=k;j++){
int invalid=0,p=2;
while(p*j<=k){
invalid=(invalid+dp[i-1][p*j])%mod;
p++;
}
dp[i][j]=(sum-invalid+mod)%mod;
}
}
int ans=0;
for(int i=1;i<=k;i++)
ans=(ans+dp[n][i])%mod;
System.out.println(ans);
}
}
