正定二次型

定理 1（惯性定理）　设二次型 $f = \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的秩为 $r$，且有两个可逆变换
$\boldsymbol{x} = \boldsymbol{C} \boldsymbol{y} \hspace{1em} 及 \hspace{1em} \boldsymbol{x} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{z}$
使
$f = k_1 y_1^2 + k_2 y_2^2 + \cdots + k_r y_r^2 \hspace{1em} (k_i \ne 0)$
及
$f = \lambda_1 z_1 ^2 + \lambda_2 z_2^2 + \cdots + \lambda_r z_r^2 \hspace{1em} (\lambda_i \ne 0)$
则 $k_1,\cdots,k_r$ 中正数的个数与 $\lambda_1,\cdots,\lambda_r$

证明　略。

二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的 正惯性指数，负系数的个数称为 负惯性指数。若二次型 $f$ 的正惯性指数为 $p$，秩为 $r$，则 $f$ 的规范形便可确定为
$f = y_1^2 + \cdots y_p^2 - y_{p+1}^2 - \cdots - y_r^2$

定义 1　设二次型 $f(\boldsymbol{x}) = \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$，如果对任何 $\boldsymbol{x} \ne \boldsymbol{0}$，都有 $f(\boldsymbol{x}) > 0$（显然 $f(\boldsymbol{0}) = 0$，则称 $f$ 为正定二次型，并称对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 是正定的；如果对任何 $\boldsymbol{x} \ne \boldsymbol{0}$ 都有 $f(\boldsymbol{x}) < 0$，则称 $f$ 为负定二次型，并称对称矩阵 $\boldsymbol{A}$

定理 2　$n$ 元二次型 $f = \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 为正定的充分必要条件是：它的标准形的 $n$ 个系数全为正，即它的规范形的 $n$ 个系数全为 $1$，亦即它的正惯性指数等于 $n$。

证明见 “【证明】二次型正定的充要条件是特征值全为正”。

推论　对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为正定的充分必要条件是：$\boldsymbol{A}$

证明见 “【证明】二次型正定的充要条件是特征值全为正”。

定理 3（赫尔维茨定理）　对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为正定的充分必要条件是：$\boldsymbol{A}$
$a_{11} > 0, \ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{vmatrix} > 0, \ \cdots, \ \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \\ \end{vmatrix} > 0$
对称矩阵 $\boldsymbol{A}$
$(-1)^r \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1r} \\ \vdots & & \vdots \\ a_{r1} & \cdots & a_{rr} \\ \end{vmatrix} > 0 \ (r=1,2,\cdots,n)$

证明　略。