LA@二次型分类@正定二次型@主子式

文章目录

• abstract
• 引言
• 正定二次型

• 小结
• 可逆线性变换不改变二次型的正定性
• 二次型是正定的充要条件
• 推论:正定矩阵和特征值
• 正定二次型(正定矩阵)性质

• 负定二次型

• 负定二次型判定条件

• k阶顺序主子式

• 赫尔维茨定理:主子式判定二次型正定性和负定性

• 二次型分类小结

• 有定二次型
• 不定二次型

abstract

• 介绍正定二次型相关概念和性质
• 二次型的分类
• 主子式

引言

• 科学技术上用的较多的二次型是正(或负)惯性指数为$n$的$n$元二次型,这类二次型是正定二次型或负定二次型

正定二次型

• 设二次形$f(\bold{x})=\bold{x^{T}\bold{A}x}$,其中$\bold{x}=(x_1,x_2,\cdots,x_n)^{T}$,如果对于任意的$\bold{x\neq{0}}$都有$f(\bold{x})>0$,称$f$为正定二次型
• 其中$\bold{\bold{A}}$是正定矩阵,显然:$f(\bold{0})=\bold{0}^{T}\bold{\bold{A}0}=0$当且仅当$\bold{x=0}$

小结

• 虽然在定义上并没有直接说明正定二次型的标准形项数为$n$且都同号,但是通过推理可以得出此结论

可逆线性变换不改变二次型的正定性

• 若$f(\bold x)=\bold{x^{T}\bold{A}x}$是正定的,经过可逆变换$\bold{x=Cy}$的$g(\bold y)=\bold{y^{T}By}$,(其中$\bold{B=C^{T}\bold{A}C}$)也是正定的
• 类似的,若$f$是不正定的,则$g$也是不正定的
• 用矩阵描述:若$\bold{\bold{A}=C^{T}BC}$,且$\bold{C}$可逆,则$\bold{\bold{A},B}$有相同的正定性
• 证明:

• 对于可逆矩阵$\bold C$,和任意非零向量$\bold z=(z_1,\cdots,z_n)^{T}\neq{0}$,有$\bold{Cz\neq{0}}$

• 因为$\bold C$可逆,齐次线性方程$\bold{Cz=0}$只有零解
• 从而$\bold{z\neq{0}}$,一定由$\bold{Cz\neq{0}}$

• 设可逆线性变换$\bold{x=Cy}$将$f$线性变换为$g$,$f(\bold x)=\bold{x^{T}\bold{A}x}=\bold{y^{T}By}=g(\bold y)$,其中,$\bold {x,y}$为$n$维列向量,$\bold{B=C^{T}\bold{A}C}$
• 为证明$g(\bold y)$是正定的,就是要证明$\forall \bold{z\neq{0}}\Rightarrow{g(\bold z)>0}$

• $g(\bold z)=\bold{z^{T}Bz}=\bold{z^{T}C^{T}\bold{A}Cz}$=$\bold{(Cz)^{T}\bold{A}(Cz)}$
• 记$\bold {r=Cz}$,前面已经讨论过$\bold {Cz\neq{0}}$,从而列向量$\bold {r\neq{0}}$
• $g(\bold z)=\bold {r^{T}\bold{A}r}=f(\bold r)>0$(由$f$的正定性)
• 从而$g(\bold z)>0$,二次型$g$依然是正定的

• 若$f$不是正定的,则需证明$\exist{\bold{z}}$ s.t.$g(\bold{z})\leqslant{0}$

• 设非零向量$\bold x_0$设$f(\bold{x_0})\leqslant{0}$,令$\bold{x_0=Cz_0}$,则$\bold{z_0=C^{-1}x_0\neq{0}}$,则$f(\bold{Cz_0})$=$g(\bold{z}_0)\leqslant{0}$
• 说明$g(\bold{z})$不满足正定条件,$g(\bold{z})$是非正定的

二次型是正定的充要条件

• $n$元实二次型$f(\bold{x})=\bold{x^{T}\bold{A}x}$是正定的当且仅当$f$的正惯性指数为$n$

• 若二次型$f$的正惯性指数为$n$,则$f$是正定二次型
• 若$f$是正定二次型,则二次型$f$的正惯性指数为$n$

• 正惯性指数为$n$的等价描述:

1. 规范形系数全为1
2. 标准形所有系数为正数

• 证明:

• 设可逆线性变换$\bold{x=Cy}$将二次型$f(\bold{x})=\bold{x^{T}\bold{A}x}$化为标准形$f(\bold{x})=f(\bold{Cy})$=$g(\bold{y})=\bold{y^{T}\Lambda{y}}$=$\sum_{i=1}^{n}k_iy_i^2$,$\bold{\Lambda=C^{T}\bold{A}C}$=$\text{diag}(k_1,\cdots,k_n)$
• 充分性

• 设标准形系数$k_i>0,i=1,2,\cdots,n$,则任意$\bold{x\neq{0}}$,满足$f(\bold{x})>{0}$,从而$f$就是正定的

• 必要性

• 用反正法证明,在$f$是正定并且标准形存在负系数的情况下,找到一个非零向量$\bold{x_0}$能使$f(\bold{x_0})\leqslant{0}$(或找到一个非零向量$\bold{y_0}$使$f(\bold{Cy_0})\leqslant{0}$即可完成证明
• 假设$f=\bold{y^{T}\Lambda{y}}=\sum_{i=1}^{n}k_iy_i^2$是正定的,且存在$s\in\{1,\cdots,n\}$,对应$k_s\leqslant{0}$
• 取$\bold{y=e_s}$时(其中$\bold{e}_s$是单位坐标向量),$\bold{x}_0=\bold{Ce}_s$,$f(\bold{x_0})=f(\bold{Ce_{s}})$=$g(e_s)$=$k_s\leqslant{0}$,
• 显然$\bold{Ce}_s\neq{\bold{0}}$,说明$f$不是正定的;这与$f$正定矛盾,从而$k_i>0$

• 事实上,这个证明过程可以从标准形开始,而不需要关心线性变换$\bold{x=Cy}$,因为任意二次型总是能够标准化,并且(可逆线性变换)标准化前后有相同的正定性

推论:正定矩阵和特征值

• 对称阵$\bold{A}$为正定的充要条件是$\bold{A}$的特征值全为正

• $\bold{A}$的特征值构成的对角阵$\Lambda=\text{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)$是$f=\bold{x^{T}\bold{A}x}$的一个标准形二次型$g(\bold{y})=\bold{y^{T}\Lambda{y}}$的矩阵,其正惯性指数等于$\Lambda$对角元素中的正数个数
• 由惯性定理,$f$的正惯性指数和其任意标准形的正惯性指数一致,
• 所以,若$\bold{A}$的特征值$\lambda_1,\cdots,\lambda_n$全为正,则$f$的正惯性系数为$n$,从而$f$是正定的,$\bold{A}$是正定的

正定二次型(正定矩阵)性质

1. $n$元二次型$f=\bold{x^{T}\bold{A}x}$=$\sum\limits_{i}\sum\limits_{j}a_{ij}x_ix_j$是正定二次型$\Leftrightarrow$ $\bold{A}=(a_{ij})$是正定矩阵
2. $a_{ii}>0,i=1,2,\cdots,n$且$|\bold{A}|>0$

• 证明:

• 因为$f$是正定的,即当$\bold{x\neq{0}}$时恒满足$f(\bold{x})>0$,如果能够找到合适的非零向量$\epsilon_i$使得$f(\epsilon_i)=a_{ii}$,那么自然得证明了$a_{ii}>0,i=1,2,\cdots,n$
• 令$\epsilon_{i}=(0,\cdots,1,\cdots,0)$(只有第$i$个元素是非零元素,而且等于1,$\epsilon_k$是单位坐标向量),$i=1,2,\cdots,n$
• 从而$f(\epsilon_k)=a_{kk},k=1,2,\cdots,n$,又$f(\epsilon_k)>0$,
• 所以$a_{ii}>0$,$i=1,2,\cdots,n$
• $|\bold{A}|=\prod_{i}\lambda_i>0$

3. 矩阵$\bold{A}$的特征值均大于0(上一节讨论过)
4. $\bold{A}$和同阶单位阵$\bold{E}$合同

• 正定二次型$f$的正惯性指数为$n$,所以(其标准形$f=\bold{y^{T}\Lambda{y}}$矩阵$\Lambda$全为正数),其规范形$f=\bold{z^{T}Ez}$的矩阵就是单位阵
• 所以矩阵$\bold{A}$与$n$阶单位阵$\bold{E}$合同,即存在可逆矩阵$\bold Q$使得$\bold {Q^{T}\bold{A}Q=E}$

5. 存在可逆矩阵$\bold P$,使得$\bold {\bold{A}=P^{T}P}$,即矩阵$\bold{\bold{A}}$可以表示为两个互为转置矩阵的可逆矩阵的乘积

• 由于$\bold {\bold{A}\simeq{E}}$,即存在可逆矩阵$\bold Q$使得$\bold {Q^{T}\bold{A}Q=E}$
• 从而$\bold{\bold{A}=(Q^{T})^{-1}EQ^{-1}=(Q^{-1})^{T}EQ^{-1}=(Q^{-1})^{T}Q^{-1}}$
• 取$\bold {P=Q^{-1}}$,即$\bold {\bold{A}=P^{T}P}$

负定二次型

• 二次形$f(\bold{x})=\bold{x^{T}\bold{A}x}$,如果对于任意的$\bold{x\neq{0}}$都有$f(\bold{x})<0$,称$f$为正定二次型
• 矩阵$\bold{\bold{A}}$是负定矩阵

负定二次型判定条件

• 和正定二次型的判定条件相仿:
• $f=\bold{x^{T}\bold{A}x}$是负定二次型$\Leftrightarrow$$\bold{A}$是负定矩阵

• 矩阵$\bold{A}$的特征值均为负
• $\bold{A}$的负惯性指数$n$

k阶顺序主子式

• 设$\bold{A}=(a_{ij})$为$n$阶矩阵,正整数$k\leqslant{n}$,则$\bold{A}$的$k$阶顺序主子式定义为$\bold{A}$的前$k$行和前$k$列的交集元素,简称主子式

• $\Delta_k= \begin{vmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1k} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{k1}& a_{k2}& \cdots & a_{kk} \end{vmatrix}$

• 一个$n$阶方阵只有$n$个主子式$(k=1,2,\cdots,n)$,且$n$阶主子式是$\bold{A}$本身
• 主子式是$k$阶子式中的一种,它们的结果都是一个数

赫尔维茨定理:主子式判定二次型正定性和负定性

• 对称阵$\bold{A}$是正定的当且仅当$\bold{A}$的全部主子式均大于0,即

• $\Delta_r>0$,$r=1,\cdots,n$

• 对称阵$\bold{A}$是的负定的充要条件是奇数阶主子式为负,偶数阶主子式为正,即

• $\Delta_1,\Delta_3,\cdots<0$,$\Delta_2,\Delta_4,\cdots>0$
• 可以更紧凑地表示为$(-1)^{r}\Delta_r>0$,$r=1,\cdots,n$

二次型分类小结

有定二次型

• 设实二次型$f=\bold{x^{T}\bold{A}x}$对于任意$x=(x_1,\cdots,x_n)^{T}\neq{0}$,:

• 若恒有$f>0$,则$f$是正定二次型,$\bold{A}$为正定矩阵
• 若恒有$f\geqslant{0}$,则$f$是半正定二次型,$\bold{A}$为半正定矩阵
• 若恒有$f<0$,则称$f$为负定二次型,$\bold{A}$为负定矩阵
• 若恒有$f\leqslant{0}$,则称$f$是半负定二次型,$\bold{A}$称为半负定矩阵

• 上述4类情况 地二次型是有定的

不定二次型

• 若二次型$f$不是有定的,称为不定二次型