将二次型化为标准形有利于我们了解二次型的简单形式、二次型的各种参数如正负惯性指数、得到二次型的规范形、对称矩阵合同的简单形等等。另外，化标准形也是解析几何化简二次曲线和二次曲面的需要。

下面，我们以两道题目为例说明计算二次型的标准形的2种方法：

  • 配方法
  • 正交变换法

配方法

二次型化为标准型_对称矩阵
二次型化为标准型_解析几何_02

其中

二次型化为标准型_解析几何_03

这里配方法有无数种配方的方法

正交变换法

二次型化为标准型_正交变换_04

二次型化为标准型_正交变换_05

二次型化为标准型_解析几何_06

二次型化为标准型_对称矩阵_07

二次型化为标准型_正交变换_08

二次型化为标准型_解析几何_09

这里提醒一下就是正交变换法的得到的矩阵只有一个就是特征值组成的矩阵