【定义】矩阵的秩

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前置定理 1　对于任何非零矩阵 $\boldsymbol{m \times n}$，总可经有限次初等行变换将它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。

证明见 “​​【定义】矩阵初等变换和矩阵等价​​”。

前置性质 2　若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第 $i$
$D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} + a'_{i1} & a_{i2} + a'_{i2} & \cdots & a_{in} + a'_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$
则 $D$
$D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a'_{i1} & a'_{i2} & \cdots & a'_{in} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix}$

证明见 “​​行列式的性质​​”。

前置性质3　行列式的某一行（列）中所有的元素都乘同一个数 $k$，等于用数 $k$

证明见 “​​行列式的性质​​”。

注：因为 Latex 没有长的 $\stackrel{info}{\sim}$ 符号，故使用 $\xrightarrow{info}$

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因为任何非零矩阵 $\boldsymbol{m \times n}$，总可经有限次初等行变换将它变为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。我们可以直观地感觉到，行等价的矩阵的行最简形矩阵矩阵是相同的，行阶梯形矩阵中非零行的行数也是相同的。

为了描述矩阵中非零行的数量，我们引入行列式非零的概念。于是，有矩阵子式的定义如下：

定义 1　在 $m \times n $ 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 中，任取 $k$ 行与 $k$ 列（$k \le m, k \le n$），位于这些行列交叉处的 $k^2$ 个元素，不改变它们在 $\boldsymbol{A}$ 中所处的位置次序而得的 $k$ 阶行列式，称为 矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的 $k$。

对于拥有 $n$ 个非零行的行阶梯形矩阵。我们取它所有非零行的首非零元所在的行和列所构成的 $n$ 阶子式，子式对角线左下的元素均为 $0$，对角线的元素是所有非零行的首非零元，为上三角形行列式，显然是非零的。而它的任一 $n+1$ 阶子式，一定包含零行，从而使子式成为 $0$。因此，拥有 $n$ 个非零行的行阶梯形矩阵的最高阶非零子式为 $n$。

对于对应的行阶梯形矩阵拥有 $n$ 非零行的一般矩阵，它的任一 $n+1$

基于这个直观的感觉，我们有引理及证明如下：

引理　设 $\boldsymbol{A} \stackrel{r}{\sim} \boldsymbol{B}$，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$

证明　因为只要经一次初等行变换结论成立，即可知经有限次初等行变换结论也成立，所以只要证明 $\boldsymbol{B}$ 是由 $\boldsymbol{A}$

设 $D$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的 $r$

（a）当 $\boldsymbol{A} \xrightarrow{r_i \leftrightarrow r_j} \boldsymbol{B}$ 或 $\boldsymbol{A} \xrightarrow{r_i \times k} \boldsymbol{B}$（$k \ne 0$）时，在 $\boldsymbol{B}$ 中总能找到与 $D$ 相对应的 $r$ 阶子式 $D_1$，由于 $D_1 = D$ 或 $D_1 = -D$ 或 $D_1 = kD$，因此 $D_1 \ne 0$。

（b）当 $\boldsymbol{A} \xrightarrow{r_i + k r_j} \boldsymbol{B}$ 时，因为对于作变换 $r_i \leftrightarrow r_j$ 时结论成立，所以只需要考虑 $\boldsymbol{A} \xrightarrow{r_1 + k r_2} \boldsymbol{B}$

当 $D$ 中不包含 $\boldsymbol{A}$ 的第 1 行时，初等行变换前后 $D$ 没有变化，$D$ 仍然是 $\boldsymbol{B}$ 的 $r$

当 $D$ 中包含 $\boldsymbol{A}$ 的第 1 行时，可以将 $\boldsymbol{B}$ 中与 $D$ 对应的 $r$ 阶子式记作 $D_1$，根据前置性质 2 和前置性质 3，有
$D_1 = \begin{vmatrix} r_1 + k r_2 \\ r_p \\ \vdots \\ r_q \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} r_1 \\ r_p \\ \vdots \\ r_q \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} k r_2 \\ r_p \\ \vdots \\ r_q \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} r_1 \\ r_p \\ \vdots \\ r_q \end{vmatrix} + k \begin{vmatrix} r_2 \\ r_p \\ \vdots \\ r_q \end{vmatrix} = D + k D_2$
若 $p=2$，则 $D_2 = 0$，有 $D_1 = D \ne 0$。若 $p \ne 2$，则 $D_2$ 也是 $\boldsymbol{B}$ 的 $r$ 阶子式，因为 $D_1 - k D_2 = D \ne 0$，所以 $D_1$ 和 $D_2$ 不同时为 $0$；因此，$\boldsymbol{B}$ 中一定存在 $r$ 阶非零子式 $D_1$ 或 $D_2$。

不妨设 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 中非零子式的最高阶数分别为 $s$ 和 $t$，上述（a）和（b）证明了 $s \le t$。因为三种初等变换都是可逆的，所以 $\boldsymbol{A}$ 也是由 $\boldsymbol{B}$ 经过一次初等变换得到的，又有 $t \le s$。于是，$s = t$。

由此，得到矩阵的秩的定义：

定义 2　设在矩阵 $\boldsymbol{A}$ 中有一个不等于 $0$ 的 $r$ 阶子式 $D$，且所有 $r+1$ 阶子式（如果存在的话）全等于 $0$，那么 $D$ 称为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的 最高阶非零子式，数 $r$ 称为 矩阵 $\boldsymbol{A}$，记作 $R(\boldsymbol{A})$。并规定零矩阵的秩等于 $0$。

在 $\boldsymbol{A}$ 中档所有 $r+1$ 阶子式全等于 $0$ 时，所有高于 $r+1$ 阶的子式也全等于 $0$，因此把 $r$ 阶非零子式称为最高阶非零子式，而 $\boldsymbol{A}$ 的秩 $R(\boldsymbol{A})$

由于 $R(\boldsymbol{A})$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的非零子式的最高阶数，因此，若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 中有某个 $s$ 阶子式不为 $0$，则 $R(\boldsymbol{A}) \ge s$；若 $\boldsymbol{A}$ 中所有 $t$ 阶子式全为 $0$，则 $R(\boldsymbol{A}) < t$。