矩阵的秩的性质

前置知识：

• ​​行列式的性质​​
• ​​逆矩阵的性质​​
• ​​【定义】矩阵的秩​​
• ​​线性方程组与矩阵的秩​​
• ​​矩阵初等变换与矩阵乘法的联系​​

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前置定义 2　设在矩阵 $\boldsymbol{A}$ 中有一个不等于 $0$ 的 $r$ 阶子式 $D$，且所有 $r+1$ 阶子式（如果存在的话）全等于 $0$，那么 $D$ 称为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的 最高阶非零子式，数 $r$ 称为 矩阵 $\boldsymbol{A}$，记作 $R(\boldsymbol{A})$。并规定零矩阵的秩等于 $0$。

说明见 “​​【定义】矩阵的秩​​”。

前置性质 3　行列式与它的转置行列式相等。

证明见 “​​行列式的性质​​”。

前置定理 4　若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $|\boldsymbol{A}| \ne 0$。

证明见 “​​逆矩阵的性质​​”。

前置定理 5　设 $\boldsymbol{A} \stackrel{r}{\sim} \boldsymbol{B}$，则 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$

证明见 “​​【定义】矩阵的秩​​”。

前置定理 6　设 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 为 $m \times n $ 矩阵，那么 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$ 的充分必要条件是存在 $m$ 阶可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 和 $n$ 阶可逆矩阵 $\boldsymbol{Q}$，使 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{B}$。

证明见 “​​矩阵初等变换与矩阵乘法的联系​​“。

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1 矩阵的秩与矩阵是否可逆的关系

定理 1　逆矩阵的秩等于矩阵的阶数，不可逆矩阵的秩小于矩阵的阶数。

证明　对于 $n$ 阶矩阵 $\boldsymbol{A}$，由于 $\boldsymbol{A}$ 的 $n$ 阶子式只有一个 $|\boldsymbol{A}|$，故当 $|\boldsymbol{A}| \ne 0$ 时 $R(\boldsymbol{A}) = n$，当 $|\boldsymbol{A}| = 0$ 时 $R(\boldsymbol{A}) < n$。根据前置定理 4，得证。

因此，可逆矩阵又称为 满秩矩阵，不可逆矩阵（奇异矩阵）又称 降秩矩阵。

2 矩阵的秩与矩阵行数、列数的关系

性质 1　若 $\boldsymbol{A}$ 为 $m \times n$ 矩阵，则 $0 \le R(\boldsymbol{A}) \le \min \{m,n\}$。

证明　根据前置定义 2，显然成立。

性质 2　$R(\boldsymbol{A}^T) = R(\boldsymbol{A})$。

证明　根据前置性质 3，行列式与其转置行列式相等，因此 $\boldsymbol{A}^T$ 的子式与 $\boldsymbol{A}$ 的子式对应相等，从而 $R(\boldsymbol{A}^T) = R(\boldsymbol{A})$。

3 矩阵的秩与矩阵初等变换的关系

性质 3　若 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$，则 $R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B})$。

证明　根据前置定理 5 可知，矩阵 $\boldsymbol{A}$ 经初等行变换变成矩阵 $\boldsymbol{B}$ 时，矩阵的秩不变。因此，我们只需要证明矩阵 $\boldsymbol{A}$ 经初等列变换变成矩阵 $\boldsymbol{B}$

根据前置定理 5，矩阵 $\boldsymbol{A}^T$ 经初等行变换变成矩阵 $\boldsymbol{B}^T$ 时，矩阵的秩不变，即 $R(\boldsymbol{A}^T) = R(\boldsymbol{B}^T)$。根据性质 2 可知，$R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{A}^T)$，$R(\boldsymbol{B}) = R(\boldsymbol{B}^T)$，于是有 $R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B})$。

综上所述，若矩阵 $\boldsymbol{A}$ 经有限次初等变换变为矩阵 $\boldsymbol{B}$（即 $\boldsymbol{A} \sim \boldsymbol{B}$），则 $R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B})$。

根据性质 3，我们发现：矩阵的初等变换作为一种运算，其深刻意义在于它不改变矩阵的秩。

根据前置定理 6 替换性质 3 中的条件，得到性质如下：

性质 4　若可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$、$\boldsymbol{Q}$ 使 $\boldsymbol{P} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q} = \boldsymbol{B}$，则 $R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B})$。

证明：根据前置定理 6 和性质 3，显然成立。

4 矩阵的秩和矩阵分块的关系

性质 5　$\max \{R(\boldsymbol{A}), R(\boldsymbol{B})\} \le R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) \le R(\boldsymbol{A}) + R(\boldsymbol{B})$。

证明　因为 $\boldsymbol{A}$ 的最高阶非零子式总是 $(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B})$ 的非零子式，所以 $R(\boldsymbol{A}) \le R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B})$。同理有 $R(\boldsymbol{B}) \le R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B})$。根据以上两式可得
$\max \{R(\boldsymbol{A}), R(\boldsymbol{B})\} \le R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B})$
设 $R(\boldsymbol{A}) = r$，$R(\boldsymbol{B}) = t$；把 $\boldsymbol{A}^T$ 和 $\boldsymbol{B}^T$ 分别作初等行变换化为行阶梯形矩阵 $\tilde{\boldsymbol{A}}$ 和 $\tilde{\boldsymbol{B}}$。因为根据性质 2 有 $R(\boldsymbol{A}^T) = R(\boldsymbol{A}) = r$，$R(\boldsymbol{B}^T) = R(\boldsymbol{B}) = t$，所以 $\tilde{\boldsymbol{A}}$ 和 $\tilde{\boldsymbol{B}}$ 中分别包含 $r$ 和非零行和 $t$ 的非零行，从而 $\begin{pmatrix} \tilde{\boldsymbol{A}} \\ \tilde{\boldsymbol{B}} \end{pmatrix}$ 中只含有 $r+t$ 个非零行，并且 $\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}^T \\ \boldsymbol{B}^T \end{pmatrix} \stackrel{r}{\sim} \begin{pmatrix} \tilde{\boldsymbol{A}} \\ \tilde{\boldsymbol{B}} \end{pmatrix}$。于是有
$R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}) = R\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}^T \\ \boldsymbol{B}^T \end{pmatrix}^T = R \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}^T \\ \boldsymbol{B}^T \end{pmatrix} = R \begin{pmatrix} \tilde{\boldsymbol{A}} \\ \tilde{\boldsymbol{B}} \end{pmatrix} \le r + t = R(\boldsymbol{A}) = R(\boldsymbol{B})$
得证。

特别地，当 $\boldsymbol{B} = \boldsymbol{b}$ 为非零列向量时，有
$R(\boldsymbol{A}) \le R(\boldsymbol{A},\boldsymbol{b}) \le R(\boldsymbol{A}) + 1$

性质 6　$R(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}) \le R(\boldsymbol{A}) + R(\boldsymbol{B})$。

证明　不妨设 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 为 $m \times n$ 矩阵。对矩阵 $\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$ 做初等行变换 $r_i - r_{n+i}$（$i = 1,2,\cdots,n$）即得
$\begin{pmatrix} \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{B} \end{pmatrix} \stackrel{r}{\sim} \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} \end{pmatrix}$
根据性质 5，有
$R(\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B}) \le R \begin{pmatrix} \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \\ \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = R \begin{pmatrix} \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{B} \end{pmatrix} = R(\boldsymbol{A}^T,\boldsymbol{B}^T)^T = R(\boldsymbol{A}^T,\boldsymbol{B}^T) \le R(\boldsymbol{A}^T) + R(\boldsymbol{B}^T) = R(\boldsymbol{A}) + R(\boldsymbol{B})$
得证。

如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩等于它的列数，这样的矩阵称为 列满秩矩阵；当 $\boldsymbol{A}$ 为方阵时，列满秩矩阵就成为满秩矩阵。如果矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩等于它的行数，这样的矩阵称为 行满秩矩阵；当 $\boldsymbol{A}$