【扩展知识】【离散数学】矩阵的运算

1. 矩阵的定义

一个 $m\times n$的矩阵就是 m行 n列的数字阵列，如 $2\times 3$ 的矩阵：

$\left[ \begin{matrix} 1 & 5 & 2\\ 6 & 6 & 9\\ \end{matrix} \right]$

实际上，矩阵类似二维数组。

2. 矩阵的运算

（1）矩阵的加法和减法

矩阵的加法和减法就是将两个矩阵对应位置上的数相加减。因此，相加减的两个矩阵A，B的行列必须相同。

（2）矩阵乘法

$A ， B ， C$ 是三个矩阵，若$A \times B=C$，需要满足：

• $A$的列数必须和$B$的行数相等；
• 设 $A$是一个 $n \times r$的矩阵，$B$是$r\times m$的矩阵，则矩阵$A$乘矩阵$B$的乘积 $C$是一个 $n\times m$的矩阵；
• $C_{(i,j)}=A_{(i,1)}\times B_{(1,j)}+A_{(i,2)}\times B_{(2,j)}+...A_{(r,1)}\times B_{(r,j)}C(i,j)$

矩阵$C$的第$i$行第$j$列元素等于矩阵$A$的第$i$行元素与矩阵$B$的第$j$列对应元素乘积之和。

例如：

矩阵$A$：

$A = \left[ \begin{matrix} a & b\\ c & d\\ e & f\\ \end{matrix} \right]$

矩阵$B$：

$B = \left[ \begin{matrix} g & h & i\\ j & k & l\\ \end{matrix} \right]$

求$C = A \times B$。

解：

$C = A \times B = \left[ \begin{matrix} (a \times g) + (b \times j) & (a \times h) + (b \times k) & (a \times i) + (b \times l)\\ (c \times g) + (d \times j) & (c \times h) + (d \times k) & (c \times i) + (d \times l)\\ (e \times g) + (f \times j) & (e \times h) + (f \times k) & (e \times i) + (f \times l)\\ \end{matrix} \right]$

【扩展信息】

我们接着看下$B \times A$的结果：

$B \times A = \left[ \begin{matrix} (g \times a)+(h \times c)+(i \times e) & (g \times b)+(h \times d)+(i \times f) \\ (j \times a)+(k \times c)+(l \times e) & (j \times b)+(k \times d)+(l \times f) \\ \end{matrix} \right]$

可以发现 $A\times B$和$B\times A$ 将得到两种不同的结果，因此矩阵不满足乘法交换律。

（3）方阵次幂

如果矩阵的行和列相同，称矩阵为方阵。若$A$是一个方阵，方阵的幂是指，将$A$连乘$n$次$A^n$ 。

若不是方阵则无法进行乘幂运算。

矩阵乘法不满足交换律，但是满足结合律，因此可以用快速幂的思想来求解方程次幂。

（4）方阵快速幂

$A$是$n$阶方阵，根据结合律可得：

$A^m = \left\{ \begin{array}{} A \ \ \ \ \ \ \ \ \ &m=1\\ (A^{\frac{m}{2}})^2 \ \ \ \ \ \ &m是偶数\\ (A^{\lfloor\frac{m}{2}\rfloor})^2 \times A \ \ \ \ &m是奇数\\ \end{array} \right.$