算法学习（三）前缀和差分

前缀和：Sn 类似于积分

差分：dn 类似于微分

1、一维前缀和

#include<iostream>
using namespace std;
/*
  对于每个询问，输出原序列中从第l个数到第r个数的和
  第一行包含2个整数：n和m
  第二行包含n个整数，表示整块数列
  接下来m行，每行都包含2个整数l和r,表示一个询问区间范围
  1<= l <= r <= n
  1<=n,m<=100000
  -1000<= 数列中元素的值 <= 1000 
*/
const int N = 100010;
int n, m,l,r;
int a[N], s[N] = { 0 };

int main() {
  cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    scanf_s("%d", &a[i]);    // 前缀和初始化

  for (int i = 1; i <= n; i++) 
    s[i] = s[i - 1] + a[i];    // 区间和计算

  while (m--) {
    scanf_s("%d %d", &l, &r);
    cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
  }
}
/*
  5  3 
  2 1 3 6 4
  1 2
  1 3
  2 4
  答案：
  3   
  6
  10
*/

或

#include<iostream>
using namespace std;
const int N = 100010;
int n, m,l,r;
int a[N], s[N] = { 0 };

int main() {
  std::ios::sync_with_stdio(false);    
  /*  取消cin于stdin的同步,与scanf效率相差无几;不可以与scanf混用,但是还是没有scanf的速度快
    要不就全部scanf,printf,
    要不就ios::sync_with_stdio(false)+全部cin,cout，
    不要混用避免不必要的WA.
  */
  cin >> n >> m;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    cin >> a[i];
  for (int i = 1; i <= n; i++) 
    s[i] = s[i - 1] + a[i];
  while (m--) {
    cin >> l >> r;
    cout << s[r] - s[l - 1] << endl;
  }
}
/*
  5  3 
  2 1 3 6 4
  1 2
  1 3
  2 4
  答案：
  3
  6
  10
*/

2、二维前缀和

#include<iostream>
using namespace std;
/*
* 范围：
  1<=n,m<=1000
  1<=q<=10000
  1<=x1<=x2<=n
  1<=y1<=y2<=m
  -1000<=元素的值<=1000
  输入样例：
  3   4  3
  1  7 2 4
  3  6 2 8
  2  1 2 3
  1  1 2 2
  2  1 3 4
  1  3 3 4
  输出样例：
  17
  27
  21
*/
const int N = 1010;
int n, m, q,i,j;
int a[N][N], s[N][N];
int main() {
  scanf_s("%d%d%d", &n, &m, &q);
  for ( i = 1; i <= n; i++)
    for ( j = 1; j <= m; j++)
      scanf_s("%d", &a[i][j]);

  for (i = 1; i <= n; i++)
    for (j = 1; j <= m; j++)
      s[i][j] = s[i - 1][j ] + s[i][j - 1] - s[i - 1][j - 1]+a[i][j];

  while (q--) {
    int x1, y1, x2, y2;
    scanf_s("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2,&y2);
    printf("%d\n", s[x2][y2]-s[x1-1][y2]-s[x2][y1-1]+s[x1-1][y1-1]);
  }
}

3、一维差分

#include<iostream>
using namespace std;
/*
  输入：长度为n的整数序列
  再输入 ：m个操作，每个操作包含3个整数l,r,c:表示将序列中[l,r]直接的每个数都加上c.
  第一行：n,m
  第二行n个整数
  m行,每行:l,r,c
  输出格式：1行,n个整数,表示最终序列。
  1<=n,m<=10000;
  1<=l<=r<=n,
  -1000<=c<=1000
  -1000<=整数序列中元素的值<=1000
  输入样本：
  6 3
  1 2 2 1 2 1
  1 3 1
  3 5 1
  1 6 1
  输出样例：
  3 4 5 3 4 2
*/
const int N = 100010;
int a[N], b[N];
int n, m,i,l,r,c;
// 核心算法
void insert(int l, int r, int c) {
  b[l] += c;
  b[r+1] -= c;
}
int main(){
  scanf_s("%d%d", &n, &m);

  for (i = 1; i <= n; i++)
    scanf_s("%d", &a[i]);

  for (i = 1; i <= n; i++)
    insert(i, i, a[i]);  // 得到原来b序列

  while (m--) {
    scanf_s("%d%d%d", &l, &r, &c);
    insert(l, r, c);
  }

  for (i = 1; i <= n; i++)
    b[i] += b[i - 1];
  for (i = 1; i <= n; i++)
    printf("%d ", b[i]);
}

4、二维差分

#include<iostream>
using namespace std;
/*
  输入：一个n*m的整数矩阵 再输入q个操作包括五个整数x1,y1,x2,y2,c；
  其中(x1,y1)和(x2,y2)表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标
  每个操作要把选中的子矩阵中的每个元素的值都加上c
  输入格式：
  第一行: n,m,q
  n行：每行包含m个整数，表示整数矩阵
  输出格式：
  共n行，每行m个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。
  数据范围：
  1<=n,m<=1000
  1<=q<=100000
  1<=x1<=x2<=n
  1<=y1<=y2<=m
  输入样例：
    3 4 3
    1 2 2 1
    3 2 2 1
    1 1 1 1 
    1 1 2 2 1
    1 3 2 3 2
    3 1 3 4 1
  输出样例：
  2  3  4  1
  4  3  4  1
  2  2  2  2
*/
const int N = 1010;
int a[N][N], b[N][N];
int n, m, q,i,j;

// 核心算法
void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c) {
  b[x1][y1] += c;
  b[x2 + 1][y1] -= c;
  b[x1][y2 + 1] -= c;
  b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

int main() {
  scanf_s("%d%d%d", &n, &m, &q);

  for (i = 1; i <= n; i++)
    for (j = 1; j <= m; j++)
      scanf_s("%d", &a[i][j]);

  for (i = 1; i <= n; i++)
    for (j = 1; j <= m; j++)
      insert(i, j, i, j, a[i][j]);

  int x1, y1, x2, y2,c;
  while (q--) {
    scanf_s("%d%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2, &c);
    insert(x1, y1, x2, y2, c);
  }
  
  for(i=1;i<=n;i++)
    for(j=1;j<=m;j++)
      b[i][j] += b[i - 1][j] + b[i][j - 1] - b[i - 1][j - 1] ;

  for (i = 1; i <= n; i++) {
    for (j = 1; j <= m; j++) {
      printf("%2d ", b[i][j]);
    }
    printf("\n");
  }
}