基本算法-03前缀和与差分 学习笔记

一、前缀和

对于一个给定的数列A，它的前缀和数列S时通过递推能求出的基本信息之一。
$S[i] = \sum_{j = 1}^i A[j]$
一个部分和，即数列A某个下标区间内的和，可以表示为前缀和相减的形式；
$sum(l, r) = \sum_{i = l}^r A[i] = S[r] - S[l - 1]$
在二维数组中，可以类似的求出二维前缀和，进一步计算出二维部分和

定义一个二维数组 a[i][j] 则其前缀和为
$s [ i ] [ j ] = s [ i ] [ j − 1 ] + s [ i − 1 ] [ j ] − s [ i − 1 ] [ j − 1 ] + a [ i ] [ j ]$

那么最大的矩形前缀和就等于蓝的矩阵加上绿的矩阵，再减去重叠面积，最后加上小方块，即
$s[i][j] = s[i][j - 1] + s[i - 1][j] - s[i - 1][j - 1] + a[i][j]$

二、差分

对于一个给定的数列A，它的差分数列B定义为：
$B[1] = A[1], B[i] = A[i] - A[i - 1](2 \le i \le n)$
可知：“前缀和”与“差分”为一对逆运算，差分序列B的前缀和序列就是原序列A，前缀和序列S的差分序列也是原序列A。

靶序列A的区间[l, r]加d(即把 A_l，A_{L + 1},…,A_r都加上d)，其差分序列B的变化为B_l加d，B_r+1减d，其他位置不便，这有助于我们在许多题目中，把原序列上的“区间操作”转化为差分序列上的“单点操作”进行计算，降低求解复杂度。