一、 集合恒等式

1. 幂等律 : A ∪ A = A A \cup A = A A∪A=A , A ∩ A = A A \cap A = A A∩A=A


2. 交换律 : A ∪ B = B ∪ A A \cup B = B \cup A A∪B=B∪A , A ∩ B = B ∩ A A \cap B = B \cap A A∩B=B∩A


3. 结合律 : ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) (A \cup B) \cup C = A \cup ( B \cup C ) (A∪B)∪C=A∪(B∪C) , ( A ∩ B ) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) (A \cap B) \cap C = A \cap ( B \cap C ) (A∩B)∩C=A∩(B∩C)


4. 分配率 : A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) A \cup ( B \cap C ) = ( A \cup B ) \cap ( A \cup C ) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) , A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) A \cap ( B \cup C ) = ( A \cap B ) \cup ( A \cap C ) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)


5. 德摩根律 :

① 绝对形式 : ∼ ( A ∪ B ) = ∼ A ∩ ∼ B \sim ( A \cup B ) = \sim A \cap \sim B ∼(A∪B)=∼A∩∼B , ∼ ( A ∩ B ) = ∼ A ∪ ∼ B \sim ( A \cap B ) = \sim A \cup \sim B ∼(A∩B)=∼A∪∼B

② 相对形式 : A − ( B ∪ C ) = ( A − B ) ∩ ( A − C ) A - (B \cup C) = ( A - B ) \cap (A - C) A−(B∪C)=(A−B)∩(A−C) , A − ( B ∩ C ) = ( A − B ) ∪ ( A − C ) A - (B \cap C) = ( A - B ) \cup (A - C) A−(B∩C)=(A−B)∪(A−C)


6. 吸收率 : A ∪ ( A ∩ B ) = A A \cup ( A \cap B ) = A A∪(A∩B)=A , A ∩ ( A ∪ B ) = A A \cap (A \cup B) = A A∩(A∪B)=A


7. 零律 : A ∪ E = E A \cup E = E A∪E=E , A ∩ ∅ = ∅ A \cap \varnothing = \varnothing A∩∅=∅


8. 同一律 : A ∪ ∅ = A A \cup \varnothing = A A∪∅=A , A ∩ E = A A \cap E = A A∩E=A

( 空集是并运算的单位元 , 全集是交运算的单位元 )


9. 排中律 : A ∪ ∼ A = E A \cup \sim A = E A∪∼A=E


10. 矛盾律 : A ∩ ∼ A = ∅ A \cap \sim A = \varnothing A∩∼A=∅


11. 余补律 : ∼ ∅ = E \sim \varnothing = E ∼∅=E , ∼ E = ∅ \sim E= \varnothing ∼E=∅


12. 双重否定定律 : ∼ ( ∼ A ) = A \sim ( \sim A ) = A ∼(∼A)=A


13. 补交转换律 : A − B = A ∩ ∼ B A - B = A \cap \sim B A−B=A∩∼B

( 集合的差运算是不必要的 , 集合的交运算和补运算可以替代差运算 )





二、 集合恒等式推广到集族

{ A α } α ∈ S \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} {Aα​}α∈S​ 为集族 , S S S 是指标集 , α \alpha α 是指标集中的元素 , 对于 S S S 集合中的 α \alpha α 元素 , 都有一个集合 A α A_\alpha Aα​ 与之对应 ; 所有的 A α A_\alpha Aα​ 集合放在一起 , 形成一个集族 ;

B B B 是任意的一个集合 ;


1 . 分配律


分配律 ① :

B ∪ ( ⋂ { A α } α ∈ S ) = ⋂ α ∈ S ( B ∪ A α ) B \cup ( \bigcap \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcap_{\alpha \in S} ( B \cup A_\alpha ) B∪(⋂{Aα​}α∈S​)=α∈S⋂​(B∪Aα​)

集族中每个集合元素求交 , 然后与 B B B 进行并运算 ; 等价于 集族中每个元素与 B B B 求并 , 然后在求上述每个并运算结果的交 ;


分配律 ② :

B ∩ ( ⋃ { A α } α ∈ S ) = ⋃ α ∈ S ( B ∩ A α ) B \cap ( \bigcup \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcup_{\alpha \in S} ( B \cap A_\alpha ) B∩(⋃{Aα​}α∈S​)=α∈S⋃​(B∩Aα​)

集族中每个集合元素求并 , 然后与 B B B 进行交运算 ; 等价于 集族中每个元素与 B B B 求交 , 然后在求上述每个并运算结果的并 ;



2 . 德摩根律


德摩根律 ( 绝对形式 ) ① :

∼ ( ⋃ { A α } α ∈ S ) = ⋂ α ∈ S ( ∼ A α ) \sim ( \bigcup \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcap_{\alpha \in S} ( \sim A_\alpha ) ∼(⋃{Aα​}α∈S​)=α∈S⋂​(∼Aα​)

集族的广义并 , 然后求补 ; 等于 集族中的每个集合 , 先求补 , 然后再求广义交 ;


德摩根律 ( 绝对形式 ) ② :

∼ ( ⋂ { A α } α ∈ S ) = ⋃ α ∈ S ( ∼ A α ) \sim ( \bigcap \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcup_{\alpha \in S} ( \sim A_\alpha ) ∼(⋂{Aα​}α∈S​)=α∈S⋃​(∼Aα​)

集族的广义交 , 然后求补 ; 等于 集族中的每个集合 , 先求补 , 然后再求广义并 ;


德摩根律 ( 相对形式 ) ③ :

B − ( ⋃ { A α } α ∈ S ) = ⋂ α ∈ S ( B − A α ) B - ( \bigcup \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcap_{\alpha \in S} ( B - A_\alpha ) B−(⋃{Aα​}α∈S​)=α∈S⋂​(B−Aα​)

B B B 集合减去 集族的广义并 ( 集族广义并 相对于 集合 B B B 的补集 ) ; 等于 B B B 集合减去集族中的每个集合 , 先求相对补集 , 然后再求广义交 ;


德摩根律 ( 相对形式 ) ④ :

B − ( ⋂ { A α } α ∈ S ) = ⋃ α ∈ S ( B − A α ) B - ( \bigcap \{ A_\alpha \}_{\alpha \in S} ) = \bigcup_{\alpha \in S} ( B - A_\alpha ) B−(⋂{Aα​}α∈S​)=α∈S⋃​(B−Aα​)

B B B 集合减去 集族的广义交 ( 集族广义交 相对于 集合 B B B 的补集 ) ; 等于 B B B 集合减去集族中的每个集合 , 先求相对补集 , 然后再求广义并 ;