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​组合恒等式参考博客 :​






一、组合恒等式 ( 积之和 ) 1


​组合恒等式 ( 积之和 ) 1 :​

∑ k = 0 r ( m k ) ( n r − k ) = ( m + n r ) ,        r = min ⁡ { m , n } \sum\limits_{k=0}^{r}\dbinom{m}{k}\dbinom{n}{r-k} = \dbinom{m + n }{r} , \ \ \ \ \ \ r= \min \{ m, n \} k=0∑r(km)(r−kn)=(rm+n),      r=min{m,n}






二、组合恒等式 ( 积之和 ) 1 证明


​1 . 组合分析方法使用 :​ 使用组合分析方法证明组合数时 , 先指定集合 , 指定元素 , 指定两个计数问题 , 公式两边是对同一个问题的计数 ;

​( 1 ) 指定集合 :​ 指定计数是在什么样的集合中产生的 ;

​( 2 ) 指定计数问题 :​ 下面两个计数问题都是同一个问题的计数 ;


  • ​① 问题 1 :​ 等号左侧代表的计数问题 ;
  • ​② 问题 2 :​ 等号右侧代表的计数问题 ;

​( 3 ) 等价说明 :​ 说明两个计数问题是同一个问题 ;




​2 . 使用 组合分析 的方法进行证明 :​



​( 1 ) 指定集合 :​ 定义两个集合 ,

A = { a 1 , a 2 , ⋯   , a m } A = \{ a_1, a_2 , \cdots , a_m \} A={a1,a2,⋯,am}

B = { b 1 , b 2 , ⋯   , b n } B = \{ b_1, b_2 , \cdots , b_n \} B={b1,b2,⋯,bn}



​( 2 ) 指定等号右边的计数 :​

​ ( m + n r ) \dbinom{m + n }{r} (rm+n) 代表 如下计数 :​

从这 两个集合的 m + n m + n m+n 个元素中 , 选取 r r r 个元素 , 这样就构造了一个选取问题 ;



​( 3 ) 指定等号左边的计数 :​

等号左边的 组合数 ∑ k = 0 r ( m k ) ( n r − k ) \sum\limits_{k=0}^{r}\dbinom{m}{k}\dbinom{n}{r-k} k=0∑r(km)(r−kn) 计数分析 :

​先分类 后 分步 :​ 上述式子中 , 有乘积 , 有求和 , 说明这是 先分类 ( 加法法则 ) , 每个分类中使用 分步 ( 乘法法则 ) 计算 ;



按照 从两个集合中 选出的 r r r 个子集中 , 含有多少个 A = { a 1 , a 2 , ⋯   , a m } A = \{ a_1, a_2 , \cdots , a_m \} A={a1,a2,⋯,am} 集合中的元素进行分类 ,

含有 A A A 中的元素 k k k 个 ,

剩下的 r − k r-k r−k 元素取自 B = { b 1 , b 2 , ⋯   , b n } B = \{ b_1, b_2 , \cdots , b_n \} B={b1,b2,⋯,bn} 集合 ;

​分步处理的逻辑是 :​ 先在 A A A 集合中选择 k k k 个元素 , 然后在 B B B 集合中选择 r − k r-k r−k 个元素 ;

因此 k k k 最多取 r r r 个 ( 全部从 A A A 集合中取 ) , 最少取 0 0 0 个 ( 全部从 B B B 集合中取 ) ;



​( 4 ) 上述等式左右两边的计数是同一个计数 , 都是在 两个集合中取 r r r 个元素的方案数 ;​






三、组合恒等式 ( 积之和 ) 2


​组合恒等式 ( 积之和 ) 2 :​

∑ k = 0 r ( m k ) ( n k ) = ( m + n m ) \sum\limits_{k=0}^{r}\dbinom{m}{k}\dbinom{n}{k} = \dbinom{m + n }{m} k=0∑r(km)(kn)=(mm+n)






四、组合恒等式 ( 积之和 ) 2 证明


​该公式是 “组合恒等式 ( 积之和 ) 1” 的特例情况​ ,

证明了上述 “组合恒等式 ( 积之和 ) 1” 公式后 , 本公式是上述公式的推论 ;



在 “组合恒等式 ( 积之和 ) 1” 公式

∑ k = 0 r ( m k ) ( n r − k ) = ( m + n r ) ,        r = min ⁡ { m , n } \sum\limits_{k=0}^{r}\dbinom{m}{k}\dbinom{n}{r-k} = \dbinom{m + n }{r} , \ \ \ \ \ \ r= \min \{ m, n \} k=0∑r(km)(r−kn)=(rm+n),      r=min{m,n}

中 , 令 r = n r=n r=n , 就变成公式



∑ k = 0 n ( m k ) ( n n − k ) = ( m + n n ) \sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{m}{k}\dbinom{n}{n-k} = \dbinom{m + n }{n} k=0∑n(km)(n−kn)=(nm+n)



( n n − k ) \dbinom{n}{n-k} (n−kn) 与 ( n k ) \dbinom{n}{k} (kn) 是等价的 , 因此公式可以变成 :



∑ k = 0 n ( m k ) ( n k ) = ( m + n n ) = ( m + n n ) \sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{m}{k}\dbinom{n}{k} = \dbinom{m + n }{n} =\dbinom{m + n }{n} k=0∑n(km)(kn)=(nm+n)=(nm+n)



因此 “组合恒等式 ( 积之和 ) 2” 是 “组合恒等式 ( 积之和 ) 1” 的一个特例情况 ;