范德蒙恒等式

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今天我们来认识组合数学中一个重要的恒等式---范德蒙恒等式。这个恒等式的表述如下

 

           

 

很自然的公式，接下来一起来看看它的证明，在维基百科上给出了两种方法证明，分别如下

 

（1）组合方法证明

 

    甲班有个同学，乙班有个同学，从两个班中选出个一共有种不同的选法。而换一种思维方式

 

    从甲班中选取个同学，从乙班中选取个同学，共有种方法，而对所有的

    就是

             

 

    可以看出这两种方法应该是相等的，即

 

             

 

（2）生成函数法证明

 

    由于，对于等式左边有

 

    

 

    而对于等式右边有

 

    

 

    左右两边一比较可知

 

    

 

     成立，证明完毕！

 

 

接下来我们看看一些关于范德蒙恒等式的衍生问题。

 

（1）证明下面恒等式

 

    

 

证明：由

 

             

 

                令和，那么有

 

     

 

      证明完毕！

 

 

（2）证明下列的恒等式