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今天我们来认识组合数学中一个重要的恒等式---范德蒙恒等式。这个恒等式的表述如下

 

           范德蒙恒等式_.net

 

很自然的公式,接下来一起来看看它的证明,在维基百科上给出了两种方法证明,分别如下

 

(1)组合方法证明

 

    甲班有范德蒙恒等式_.net_02个同学,乙班有范德蒙恒等式_思维方式_03个同学,从两个班中选出范德蒙恒等式_.net_04个一共有范德蒙恒等式_维基百科_05种不同的选法。而换一种思维方式

 

    从甲班中选取范德蒙恒等式_维基百科_06个同学,从乙班中选取范德蒙恒等式_思维方式_07个同学,共有范德蒙恒等式_组合数学_08种方法,而对所有的范德蒙恒等式_生成函数_09

    就是

             范德蒙恒等式_组合数学_10

 

    可以看出这两种方法应该是相等的,即

 

             范德蒙恒等式_生成函数_11

 

(2)生成函数法证明

 

    由于范德蒙恒等式_维基百科_12,对于等式左边有

 

    范德蒙恒等式_.net_13

 

    而对于等式右边有

 

    范德蒙恒等式_维基百科_14

 

    左右两边一比较可知

 

    范德蒙恒等式_生成函数_11

 

     成立,证明完毕!

 

 

接下来我们看看一些关于范德蒙恒等式的衍生问题。

 

(1)证明下面恒等式

 

    范德蒙恒等式_.net_16

 

证明:

 

             范德蒙恒等式_.net_17

 

                令范德蒙恒等式_维基百科_18范德蒙恒等式_维基百科_19,那么有

 

     范德蒙恒等式_维基百科_20

 

      证明完毕!

 

 

(2)证明下列的恒等式

 

    范德蒙恒等式_维基百科_21