今天我们来认识组合数学中一个重要的恒等式---范德蒙恒等式。这个恒等式的表述如下
很自然的公式,接下来一起来看看它的证明,在维基百科上给出了两种方法证明,分别如下
(1)组合方法证明
甲班有个同学,乙班有个同学,从两个班中选出个一共有种不同的选法。而换一种思维方式
从甲班中选取个同学,从乙班中选取个同学,共有种方法,而对所有的
就是
可以看出这两种方法应该是相等的,即
(2)生成函数法证明
由于,对于等式左边有
而对于等式右边有
左右两边一比较可知
成立,证明完毕!
接下来我们看看一些关于范德蒙恒等式的衍生问题。
(1)证明下面恒等式
证明:由
令和,那么有
证明完毕!
(2)证明下列的恒等式