组合恒等式参考博客 :
- 【组合数学】组合恒等式 ( 递推 组合恒等式 | 变下项求和 组合恒等式 简单和 | 变下项求和 组合恒等式 交错和 )
- 【组合数学】组合恒等式 ( 变下项求和 3 组合恒等式 | 变下项求和 4 组合恒等式 | 二项式定理 + 求导 证明组合恒等式 | 使用已知组合恒等式证明组合恒等式 )
一、组合恒等式回顾 ( 8个 )
1 . 组合恒等式 ( 递推式 ) :
( 1 ) 递推式 1 : ( n k ) = ( n n − k ) \dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n-k} (kn)=(n−kn)
( 2 ) 递推式 2 : ( n k ) = n k ( n − 1 k − 1 ) \dbinom{n}{k} = \dfrac{n}{k} \dbinom{n - 1}{k - 1} (kn)=kn(k−1n−1)
( 3 ) 递推式 3 ( 帕斯卡 / 杨辉三角公式 ) : ( n k ) = ( n − 1 k ) + ( n − 1 k − 1 ) \dbinom{n}{k} = \dbinom{n - 1}{k} + \dbinom{n - 1}{k - 1} (kn)=(kn−1)+(k−1n−1)
2 . 回顾四个变下项求和的组合恒等式 : 之前介绍的组合恒等式 中的组合数 ( n k ) \dbinom{n}{k} (kn) , 是下项 k k k 一直在累加改变 , 具有 ∑ k = 0 n \sum\limits_{k=0}^{n} k=0∑n 累加性质 , 上项 n n n 是不变的 ;
( 1 ) 简单和 : ∑ k = 0 n ( n k ) = 2 n \sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k} = 2^n k=0∑n(kn)=2n
( 2 ) 交错和 : ∑ k = 0 n ( − 1 ) k ( n k ) = 0 \sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^k \dbinom{n}{k} = 0 k=0∑n(−1)k(kn)=0
( 3 ) 变下项求和 3 : ∑ k = 0 n k ( n k ) = n 2 n − 1 \sum\limits_{k=0}^{n} k \dbinom{n}{k} = n 2^{n-1} k=0∑nk(kn)=n2n−1
( 4 ) 变下项求和 4 : ∑ k = 0 n k 2 ( n k ) = n ( n + 1 ) 2 n − 2 \sum_{k=0}^{n} k^2 \dbinom{n}{k} = n ( n+1 ) 2^{n-2} ∑k=0nk2(kn)=n(n+1)2n−2
3 . 变上项求和 : ∑ l = 0 n ( l k ) = ( n + 1 k + 1 ) \sum\limits_{l=0}^{n} \dbinom{l}{k} = \dbinom{n + 1}{k + 1} l=0∑n(kl)=(k+1n+1)
二、组合恒等式 ( 积 )
组合恒等式 ( 积 ) :
( n r ) ( r k ) = ( n k ) ( n − k r − k ) \dbinom{n}{r}\dbinom{r}{k} = \dbinom{n }{k}\dbinom{n-k}{r-k} (rn)(kr)=(kn)(r−kn−k)
三、组合恒等式 ( 积 ) 证明
1 . ( n r ) ( r k ) \dbinom{n}{r}\dbinom{r}{k} (rn)(kr) 组合数解析 : 这是两个组合数的乘法 , 使用的是 分步计数原理 , 对应乘法法则 ;
( 1 ) 第一步 : ( n r ) \dbinom{n}{r} (rn) 从 n n n 个元素中选择 r r r 个元素 ;
( 2 ) 第二步 : ( r k ) \dbinom{r}{k} (kr) 从 r r r 个元素中选择 k k k 个元素 ;
2 . 上述选择可能会存在重复的情况 , 以下反例可以证明 :
集合 S = { a , b , c , d , e } S = \{ a, b, c, d, e \} S={a,b,c,d,e} , 从该集合 S S S 中选择 4 4 4 个元素 , 举两个栗子 :
① { a , b , c , d } \{a, b, c, d\} {a,b,c,d} , 有子集 { b , c , d } \{ b,c,d \} {b,c,d}
② { b , c , d , e } \{ b,c,d,e \} {b,c,d,e} , 有子集 { b , c , d } \{ b,c,d \} {b,c,d}
这样从 5 5 5 个元素中选择 4 4 4 个 , 然后从 4 4 4 个元素中选择 3 3 3 个 , 最后 出现了选择重复子集的情况 , 有两个重复的 { b , c , d } \{ b,c,d \} {b,c,d} ;
3 . ( n k ) ( n − k r − k ) \dbinom{n }{k}\dbinom{n-k}{r-k} (kn)(r−kn−k) 组合数解析 :
( n k ) \dbinom{n }{k} (kn) 表示 从 n n n 个元素中 , 直接选出 k k k 个元素出来 , 查看有多少种方法 ; 栗子 : 上述 5 5 5 元集中直接选择 3 3 3 元素子集的个数 ;
( n − k r − k ) \dbinom{n-k}{r-k} (r−kn−k) 是 上述选择方法的重复度 , 每个选择方法会出现多少次 ; 栗子 : 计算上述每个 3 3 3 元素子集选择方案的重复次数 ;
4 . 下面开始研究上述 ( n − k r − k ) \dbinom{n-k}{r-k} (r−kn−k) 重复度是如何计算出来的
以上面的栗子为例 , 3 3 3 子集 { b , c , d } \{ b,c,d \} {b,c,d} 出现两次的原因是 ,
在 4 4 4 子集 { a , b , c , d } \{a, b, c, d\} {a,b,c,d} 和 { b , c , d , e } \{ b,c,d,e \} {b,c,d,e} 都包含同样的 3 3 3 子集 { b , c , d } \{ b,c,d \} {b,c,d} ,
在上述 4 4 4 子集中 , 除了 3 3 3 子集之外 , 有其它的添加元素 ,
- 在 { a , b , c , d } \{a, b, c, d\} {a,b,c,d} 中 , 添加了 a a a 元素
- 在 { b , c , d , e } \{b,c,d,e\} {b,c,d,e} 中 , 添加了 e e e 元素
在 3 3 3 子集中 , 添加不同的元素 , 就可以变成 不同的 4 4 4 子集 , 这里直接求该 3 3 3 子集有多少种添加方法 , 构成 4 4 4 子集的个数 ;
添加的元素是从 原有 S = { a , b , c , d , e } S = \{ a, b, c, d, e \} S={a,b,c,d,e} 集合中 , 除掉 { b , c , d } \{ b,c,d \} {b,c,d} 3 3 3 子集后的元素中选取的 ,
选取集合有 5 − 3 = 2 5-3 = 2 5−3=2 个元素 ( 相当于公式 n − k n-k n−k ) ,
选取的个数就是 4 − 3 = 1 4-3=1 4−3=1 个 ( 相当于公式 r − k r-k r−k ) ;
从 n − k n-k n−k 个元素中选择 r − k r-k r−k 个元素 , 方案数为 ( n − k r − k ) \dbinom{n-k}{r-k} (r−kn−k) ;
5 . ( n r ) ( r k ) = ( n k ) ( n − k r − k ) \dbinom{n}{r}\dbinom{r}{k} = \dbinom{n }{k}\dbinom{n-k}{r-k} (rn)(kr)=(kn)(r−kn−k) 的左右两边都是对同一个组合数的计数结果 , 因此是相等的
四、组合恒等式 ( 积 ) 用途 、求组合数通用方法
组合恒等式 ( 积 ) :
( n r ) ( r k ) = ( n k ) ( n − k r − k ) \dbinom{n}{r}\dbinom{r}{k} = \dbinom{n }{k}\dbinom{n-k}{r-k} (rn)(kr)=(kn)(r−kn−k)
遇到 ( n r ) ( r k ) \dbinom{n}{r}\dbinom{r}{k} (rn)(kr) 先乘积 , 再求和的情况 , 如果求和是对 r r r 求和的话 , 即 ∑ r = 0 n \sum\limits_{r=0}^{n} r=0∑n , 如下 :
对 ∑ r = k n ( n r ) ( r k ) \sum\limits_{r=k}^{n}\dbinom{n}{r}\dbinom{r}{k} r=k∑n(rn)(kr) 求和 ;
对 r r r 求和 , r r r 是从 k k k 一直到 n n n ,
前面的项 ( n r ) \dbinom{n}{r} (rn) 下项是变量 ,
后面的项 ( r k ) \dbinom{r}{k} (kr) 上项是变量 ,
之前的通用方法 : 这就无法使用之前的计算方法了 , 之前的计算方法是 , 常量向 ∑ \sum ∑ 符号外面提取 , 剩下的转变成 基本求和式 ∑ k = 0 n ( n k ) = 2 n \sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k} = 2^n k=0∑n(kn)=2n , 或已知的 组合恒等式 , 组合公式 , 进行化简 ;
处理的情况 : 两个组合数 , 一个是下项是累加变量 , 一个是上项是累加变量 , 两个组合数相乘 的情况 ;
上述 积组合恒等式可以将上述情况改变成 下项 是累加变量的情况 ;
这里使用上述 积组合恒等式 , 转变为 :
∑ r = k n ( n r ) ( r k ) = ∑ r = k n ( n k ) ( n − k r − k ) \sum\limits_{r=k}^{n}\dbinom{n}{r}\dbinom{r}{k} = \sum\limits_{r=k}^{n} \dbinom{n }{k}\dbinom{n-k}{r-k} r=k∑n(rn)(kr)=r=k∑n(kn)(r−kn−k)
得到上述公式后 , 分析得到的项 ∑ r = k n ( n k ) ( n − k r − k ) \sum\limits_{r=k}^{n} \dbinom{n }{k}\dbinom{n-k}{r-k} r=k∑n(kn)(r−kn−k) ,
前面的 ( n k ) \dbinom{n }{k} (kn) 项与 求和变量 r r r 无关 ,
后面的 ( n − k r − k ) \dbinom{n-k}{r-k} (r−kn−k) 下项与 求和变量 r r r 相关 ;
因此 ( n k ) \dbinom{n }{k} (kn) 项 可以提取到 ∑ \sum ∑ 符号外面 ;
= ( n k ) ∑ r = k n ( n − k r − k ) =\dbinom{n }{k} \sum\limits_{r=k}^{n} \dbinom{n-k}{r-k} =(kn)r=k∑n(r−kn−k)
上述式子就可以进行 变限 , 代换计算了 ; 使用 r ′ = r − k r' = r-k r′=r−k 替换 r r r ;
原来 r r r 的取值范围是 k k k ~ n n n , 则 r ′ = r − k r' = r-k r′=r−k 的取值范围是 0 0 0 ~ n − k n-k n−k , 代换结果如下 :
= ( n k ) ∑ r ′ = 0 n − k ( n − k r ′ ) =\dbinom{n }{k} \sum\limits_{r'=0}^{n - k} \dbinom{n-k}{r'} =(kn)r′=0∑n−k(r′n−k)
根据 基本求和式 ∑ k = 0 n ( n k ) = 2 n \sum\limits_{k=0}^{n}\dbinom{n}{k} = 2^n k=0∑n(kn)=2n , 计算 ∑ r ′ = 0 n − k ( n − k r ′ ) \sum\limits_{r'=0}^{n - k} \dbinom{n-k}{r'} r′=0∑n−k(r′n−k) 的结果为 2 n − k 2^{n-k} 2n−k ; 最终的计算结果为 :
= ( n k ) ∑ r ′ = 0 n − k ( n − k r ′ ) = 2 n − k ( n k ) =\dbinom{n }{k} \sum\limits_{r'=0}^{n - k} \dbinom{n-k}{r'} = 2 ^{n-k}\dbinom{n }{k} =(kn)r′=0∑n−k(r′n−k)=2n−k(kn)
