【组合数学】递推方程 ( 递推方程示例 1 | 列出递推方程 )

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韩曙亮_ 2022-03-08 16:21:14 博主文章分类：数学 ©著作权

文章标签 递推方程递推进制初值 文章分类 代码人生

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一、递推方程示例 1
二、递推方程示例小结

一、递推方程示例 1

编码系统使用 8 8 8 进制数字 , 对信息编码 , 8 8 8 进制数字只能取值 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 0,1,2,3,4,5,6,7 0,1,2,3,4,5,6,7 ,

只有当某个编码含有偶数个 7 7 7 时 , 该编码才是有效的 ,

求 n n n 位的编码中有效的编码个数 ?

分析 :

n n n 位长的编码 , 可以由 n − 1 n-1 n−1 位长的编码 , 后面加上一位 8 8 8 进制数字构成 ;

对于每个 n − 1 n-1 n−1 位长的编码 , 后面加上一位数字 , 使得最终的编码满足有效编码的要求 , 即含有偶数个 7 7 7 , 就可以得到一个有效的 n n n 位长的编码 ;

1 . 设 n n n 位长的有效编码个数是 a n a_n an 个 ;

则有 n − 1 n-1 n−1 位长的有效编码个数是 a n − 1 a_{n-1} an−1 个 ;

现在考虑 n n n 位长的编码与 n − 1 n-1 n−1 位长的编码之间的关联关系 ;

( 1 ) 偶数个 7 7 7 : 假定当前已经有一个 n − 1 n-1 n−1 位长的 8 8 8 进制编码串 , 恰好含有偶数个 7 7 7 , 即该编码已经满足有效编码的要求 , 在加上一位数字 :

不可以加的数字 : 不能加 7 7 7 , 加了 7 7 7 之后 , 就会变成奇数个 7 7 7 , 成为无效编码 ;
可以加的数字 : 只能加 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 0,1,2,3,4,5,6 0,1,2,3,4,5,6 数字 , 这里有 7 7 7 种方式 ;

由一个 n − 1 n-1 n−1 位长的 , 满足要求的编码 , 有 7 7 7 种方式生成一个 n n n 位长的编码 ;

( 2 ) 奇数个 7 7 7 : 假定当前已经有一个 n − 1 n-1 n−1 位长的 8 8 8 进制编码串 , 恰好含有奇数个 7 7 7 , 即该编码不满足有效编码的要求 , 在加上一位数字 :

不可以加的数字 : 不能加 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 0,1,2,3,4,5,6 0,1,2,3,4,5,6 数字 , 加了以后 , 最终结果还是有奇数个 7 7 7 , 不满足有效编码的要求 ;
可以加的数字 : 只能加 7 7 7 , 加了 7 7 7 之后 , 就会变成偶数个 7 7 7 , 成为有效编码 ;

由一个 n − 1 n-1 n−1 位长的 , 不满足要求的编码 , 有 1 1 1 种方式生成一个 n n n 位长的编码 ;

3 . 总个数 8 n − 1 8^{n-1} 8n−1 :

n − 1 n-1 n−1 位长的编码的总数是 8 n − 1 8^{n-1} 8n−1 个 , 每个位置都有 8 8 8 种可能的选择 , 有 n − 1 n-1 n−1 个位置 ;

又可以表述成 : n − 1 n-1 n−1 位长的包括 , 奇数个 7 7 7 , 偶数个 7 7 7 , 的编码总数是 8 n − 1 8^{n-1} 8n−1

编码中如果没有 7 7 7 , 是 0 0 0 个 7 7 7 , 算偶数个 7 7 7 ;

4 . n − 1 n-1 n−1 位编码的有效个数 a n − 1 a_{n-1} an−1 :

n − 1 n-1 n−1 位中 , 偶数个 7 7 7 的个数 , 就是有效编码的个数 , 即上述假设的

“设 n n n 位长的有效编码个数是 a n a_n an 个” , 则有

" n − 1 n-1 n−1 位长的有效编码个数是 a n − 1 a_{n-1} an−1 个"

5 . n − 1 n-1 n−1 位编码的无效个数 8 n − 1 − a n − 1 8^{n-1} - a_{n-1} 8n−1−an−1 :

n − 1 n-1 n−1 位长的包括奇数个 7 7 7 , 偶数个 7 7 7 的编码总数是 8 n − 1 8^{n-1} 8n−1

n − 1 n-1 n−1 位中 , 偶数个 7 7 7 的个数 , 就是有效编码的个数 , 即上述假设的 a n − 1 a_{n-1} an−1

则 n − 1 n-1 n−1 位中 , 奇数个 7 7 7 的个数 , 就是无效编码的个数 , 即上述总个数减去有效编码个数 , 结果是 :

8 n − 1 − a n − 1 8^{n-1} - a_{n-1} 8n−1−an−1

6 . 分析第 n n n 项与 n − 1 n-1 n−1 项之间的关系 , 即 n n n 位有效编码个数与 n − 1 n-1 n−1 位有效编码个数 :

有效编码个数对应的添加方法数 : n − 1 n-1 n−1 位编码的有效个数 a n − 1 a_{n-1} an−1 , 含有偶数个 7 7 7 , 每个有效编码 , 添加一位数字 , 组成 n n n 位有效编码 , 有 7 7 7 种对应的添加方式 , 即添加 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 0,1,2,3,4,5,6 0,1,2,3,4,5,6 数字 , 七种方式 ; 方法数是 7 a n − 1 7a_{n-1} 7an−1

无效编码个数对应的添加方法数 : n − 1 n-1 n−1 位编码的无效个数 8 n − 1 − a n − 1 8^{n-1} - a_{n-1} 8n−1−an−1 , 还有奇数个 7 7 7 , 每个无效编码 , 只能添加一个数字 7 7 7 , 组成 n n n 位有效编码 , 只有一种方法 ; 方法数是 8 n − 1 − a n − 1 8^{n-1} - a_{n-1} 8n−1−an−1

因此这里可以写出 n n n 位编码的有效个数 a n a_n an 与 n − 1 n-1 n−1 位编码有效个数 a n − 1 a_{n-1} an−1 的关系 :

a n a_n an = = = 7 a n − 1 7a_{n-1} 7an−1 + + + 8 n − 1 − a n − 1 8^{n-1} - a_{n-1} 8n−1−an−1

化简后得到 :

a n a_n an = = = 6 a n − 1 6a_{n-1} 6an−1 + + + 8 n − 1 8^{n-1} 8n−1

7 . 初值讨论

如果只有 1 1 1 位编码 , 肯定不能是 7 7 7 , 这样就含有奇数个 ( 1 1 1 个 ) 7 7 7 , 是无效编码 ;

只能是 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 0,1,2,3,4,5,6 0,1,2,3,4,5,6 这 7 7 7 种 , 因此有 1 1 1 位编码时 , 有效编码个数是 7 7 7 个 ,

产生递推方程初值 a 1 = 7 a_1 = 7 a1=7

8 . 最终得到的递推方程 :

递推方程 : a n a_n an = = = 6 a n − 1 6a_{n-1} 6an−1 + + + 8 n − 1 8^{n-1} 8n−1

初值 : a 1 = 7 a_1 = 7 a1=7

解上述递推方程的通项公式 : a n = 6 n + 8 n 2 a_n = \cfrac{6^n + 8^n}{2} an=26n+8n