【数理逻辑】命题逻辑的等值演算与推理演算 ( 命题逻辑 | 等值演算 | 主合取 ( 析取 ) 范式 | 推理演算 ) ★★

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韩曙亮_ 2022-03-08 16:22:06 博主文章分类：数学 ©著作权

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文章目录

一、命题逻辑基本概念
二、等值演算
三、主合取 ( 析取 ) 范式
四、推理演算

1、附加律
2、化简律
3、假言推理
4、拒取式
5、析取三段论
6、假言三段论
7、等价三段论
8、构造性两难

参考博客 :

【数理逻辑】命题和联结词 ( 命题 | 命题符号化 | 真值联结词 | 否 | 合取 | 析取 | 非真值联结词 | 蕴涵 | 等价 )
【数理逻辑】命题逻辑 ( 命题与联结词回顾 | 命题公式 | 联结词优先级 | 真值表可满足式矛盾式重言式 )
【数理逻辑】命题逻辑 ( 等值演算 | 幂等律 | 交换律 | 结合律 | 分配律 | 德摩根律 | 吸收率 | 零律 | 同一律 | 排中律 | 矛盾律 | 双重否定率 | 蕴涵等值式 … )
【数理逻辑】范式 ( 合取范式 | 析取范式 | 大项 | 小项 | 极大项 | 极小项 | 主合取范式 | 主析取范式 | 等值演算方法求主析/合取范式 | 真值表法求主析/合取范式 )
【数理逻辑】命题逻辑 ( 命题逻辑推理 | 推理的形式结构 | 推理定律 | 附加律 | 化简律 | 假言推理 | 拒取式 | 析取三段论 | 假言三段论 | 等价三段论 | 构造性两难 )
【数理逻辑】命题逻辑 ( 命题逻辑推理正确性判定 | 形式结构是永真式 - 等值演算 | 从前提推演结论 - 逻辑推理 )

一、命题逻辑基本概念

命题逻辑基本概念

命题逻辑联结词
真值表
命题逻辑类型 : 可满足式 , 永真式 , 永假式 ;

1 . 命题公式组成 :

① 单个命题变元 / 命题常元是命题公式 ;

② 如果 A A A 是命题公式 , 则 ( ¬ A ) (\lnot A) (¬A) 也是命题公式 ;

③ 如果 A , B A,B A,B 是命题公式 , 则 ( A ∧ B ) , ( A ∨ B ) , ( A → B ) , ( A ↔ B ) (A \land B) , (A \lor B), (A \to B), (A \leftrightarrow B) (A∧B),(A∨B),(A→B),(A↔B) 也是命题公式 ;

④ 有限次应用 ① ② ③ 形成的符号串是命题公式 ; ( 无限次不行 )

2 . 联结词 :

原子命题 : p , q , r p , q , r p,q,r 表示原子命题 , 又称为简单命题 ;

真 : 1 1 1 表示命题真值为真 ;
假 : 0 0 0 表示命题真值为假 ;

否定联结词 : ¬ \lnot ¬
合取联结词 : ∧ \land ∧ , p ∧ q p \land q p∧q , p q pq pq 同真, 结果才为真 , 其余情况为假 ;
析取联结词 : ∨ \lor ∨ , p ∨ q p \lor q p∨q , p q pq pq 同假, 结果才为假 , 其余情况为真 ;
蕴涵联结词 : → \to → , p → q p \to q p→q , p p p 真 q q q 假, 结果才为假 , 其余情况为真 ;
等价联结词 : ↔ \leftrightarrow ↔ , p ↔ q p \leftrightarrow q p↔q , p q pq pq 真值相同时为真 , 表示等价成立 , p q pq pq 真值相反时为假 , 等价不成立 ;

联结词优先级 :

“ ¬ \lnot ¬” 大于 “ ∧ , ∨ \land , \lor ∧,∨” 大于 “ → , ↔ \to, \leftrightarrow →,↔”

∧ , ∨ \land , \lor ∧,∨ 优先级相同 ;

→ , ↔ \to, \leftrightarrow →,↔ 优先级相同 ;

3 . 命题逻辑类型 :

可满足式 : 真值表中 , 至少有一个结果为真 , 可以都为真 ;

矛盾式 ( 永假式 ) : 所有的真值都为假 ;

可满足式与矛盾式 , 是二选一的 , 复合命题要么是可满足式 , 要么是矛盾式 ;

重言式 ( 永真式 ) 是可满足式的一种 ;

4 . 简单命题形式化 :

参考 : 复合命题与命题符号化

定义命题 : 使用 p , q p,q p,q 代表真假必居其一的陈述句 ;

使用联结词 : 然后使用联结词联结这些 p , q p,q p,q 命题 ;

参考博客 :

【数理逻辑】命题和联结词 ( 命题 | 命题符号化 | 真值联结词 | 否 | 合取 | 析取 | 非真值联结词 | 蕴涵 | 等价 )
【数理逻辑】命题逻辑 ( 命题与联结词回顾 | 命题公式 | 联结词优先级 | 真值表可满足式矛盾式重言式 )

二、等值演算

等值式概念 : A , B A , B A,B 是两个命题公式 , 如果 A ↔ B A \leftrightarrow B A↔B 是永真式 , 那么 A , B A,B A,B 两个命题公式是等值的 , 记做 A ⇔ B A \Leftrightarrow B A⇔B ;

等值演算置换规则 : A A A 和 B B B 两个命题公式 , 可以互相代替 , 凡是出现 A A A 的地方都可以替换成 B B B , 凡是出现 B B B 的地方都可以替换成 A A A ;

基本运算规律 :

1. 幂等律 : A ⇔ A ∨ A A \Leftrightarrow A \lor A A⇔A∨A , A ⇔ A ∧ A A \Leftrightarrow A \land A A⇔A∧A
2. 交换律 : A ∨ B ⇔ B ∨ A A \lor B \Leftrightarrow B \lor A A∨B⇔B∨A , A ∧ B ⇔ B ∧ A A \land B \Leftrightarrow B \land A A∧B⇔B∧A
3. 结合律 : ( A ∨ B ) ∨ C ⇔ A ∨ ( B ∨ C ) (A \lor B ) \lor C \Leftrightarrow A \lor (B \lor C) (A∨B)∨C⇔A∨(B∨C) , ( A ∧ B ) ∧ C ⇔ A ∧ ( B ∧ C ) (A \land B ) \land C \Leftrightarrow A \land (B \land C) (A∧B)∧C⇔A∧(B∧C)
4. 分配律 : A ∨ ( B ∧ C ) ⇔ ( A ∨ B ) ∧ ( A ∨ C ) A \lor (B \land C) \Leftrightarrow ( A \lor B ) \land ( A \lor C ) A∨(B∧C)⇔(A∨B)∧(A∨C) , A ∧ ( B ∨ C ) ⇔ ( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C ) A \land (B \lor C) \Leftrightarrow ( A \land B ) \lor ( A \land C ) A∧(B∨C)⇔(A∧B)∨(A∧C)

新运算规律 :

5. 德摩根律 : ¬ ( A ∨ B ) ⇔ ¬ A ∧ ¬ B \lnot ( A \lor B ) \Leftrightarrow \lnot A \land \lnot B ¬(A∨B)⇔¬A∧¬B , ¬ ( A ∧ B ) ⇔ ¬ A ∨ ¬ B \lnot ( A \land B ) \Leftrightarrow \lnot A \lor \lnot B ¬(A∧B)⇔¬A∨¬B

有了与 ( ∧ \land ∧ ) 非 ( ¬ \lnot ¬ ) , 就可以表示或 ( ∨ \lor ∨ )
有了或 ( ∨ \lor ∨ ) 非 ( ¬ \lnot ¬ ) , 就可以表示与 ( ∧ \land ∧ )

6. 吸收率 :

前者将后者吸收了 : A ∨ ( A ∧ B ) ⇔ A A \lor ( A \land B ) \Leftrightarrow A A∨(A∧B)⇔A
后者将前者吸收了 : A ∧ ( A ∨ B ) ⇔ A A \land ( A \lor B ) \Leftrightarrow A A∧(A∨B)⇔A ;

0 , 1 0 , 1 0,1 相关的运算律 :

7. 零律 : A ∨ 1 ⇔ 1 A \lor 1 \Leftrightarrow 1 A∨1⇔1 , A ∧ 0 ⇔ 0 A \land 0 \Leftrightarrow 0 A∧0⇔0

1 1 1 是或运算的零元 , 0 0 0 是与运算的零元 ;
与零元进行运算结果是零元 ;

8. 同一律 : A ∨ 0 ⇔ A A \lor 0 \Leftrightarrow A A∨0⇔A , A ∧ 1 ⇔ A A \land 1 \Leftrightarrow A A∧1⇔A

0 0 0 是或运算的单位元 , 1 1 1 是与运算的单位元
与单位元进行运算结果是其本身

9. 排中律 : A ∨ ¬ A ⇔ 1 A \lor \lnot A \Leftrightarrow 1 A∨¬A⇔1
10. 矛盾律 : A ∧ ¬ A ⇔ 0 A \land \lnot A \Leftrightarrow 0 A∧¬A⇔0

对偶原理适用于上述运算律 , 将两边的 ∧ , ∨ \land , \lor ∧,∨ 互换 , 同时 0 , 1 0 ,1 0,1 互换 , 等价仍然成立 ;

等价蕴含运算规律 :

11. 双重否定率 : ¬ ¬ A ⇔ A \lnot \lnot A \Leftrightarrow A ¬¬A⇔A
12. 蕴涵等值式 : A → B ⇔ ¬ A ∨ B A \to B \Leftrightarrow \lnot A \lor B A→B⇔¬A∨B

替换蕴含联结词 : 蕴含联结词 → \to → 不是必要的 , 使用 ¬ , ∨ \lnot , \lor ¬,∨ 两个联结词可以替换蕴含联结词 ;

13. 等价等值式 : A ↔ B ⇔ ( A → B ) ∨ ( B → A ) A \leftrightarrow B \Leftrightarrow ( A \to B ) \lor ( B \to A ) A↔B⇔(A→B)∨(B→A)

双箭头 ( 等价联结词 ) 可以理解成重分必要条件
A → B A \to B A→B ( 蕴含联结词 ) 理解成 A A A 是 B B B 的充分条件 , B B B 是 A A A 的必要条件
B → A B \to A B→A ( 蕴含联结词 ) 理解成 B B B 是 A A A 的充分条件 , A A A 是 B B B 的必要条件
替换等价联结词 : 等价联结词 ↔ \leftrightarrow ↔ 不是必要的 , 使用 → , ∨ \to , \lor →,∨ 两个联结词可以替换等价联结词 ;

14. 等价否定等值式 : A ↔ B ⇔ ¬ A ↔ ¬ B A \leftrightarrow B \Leftrightarrow \lnot A \leftrightarrow \lnot B A↔B⇔¬A↔¬B
15. 假言易位 ( 逆否命题 ) : A → B ⇔ ¬ B → ¬ A A \to B \Leftrightarrow \lnot B \to \lnot A A→B⇔¬B→¬A

A A A 称为前件 , B B B 称为后件 ( 结论 ) ;

16. 归谬论 ( 反证法 ) : ( A → B ) ∧ ( A → ¬ B ) ⇔ ¬ A ( A \to B ) \land ( A \to \lnot B ) \Leftrightarrow \lnot A (A→B)∧(A→¬B)⇔¬A

这是反证法的原理 , 由 A A A 推导出 B B B 和 ¬ B \lnot B ¬B , B B B 和 ¬ B \lnot B ¬B 是矛盾的 , 则 A A A 是错的 , ¬ A \lnot A ¬A 是对的 ;

参考博客 : 【数理逻辑】命题逻辑 ( 等值演算 | 幂等律 | 交换律 | 结合律 | 分配律 | 德摩根律 | 吸收率 | 零律 | 同一律 | 排中律 | 矛盾律 | 双重否定率 | 蕴涵等值式 … )

三、主合取 ( 析取 ) 范式

1 . 极小项

极小项 : 极小项是一种简单合取式 ;

1.前提 ( 简单合取式 ) : 含有 n n n 个命题变项的简单合取式 ;
2.命题变项出现次数 : 每个命题变项均以文字的形式在其中出现 , 且仅出现一次 ;
3.命题变项出现位置 : 第 i i i ( 1 ≤ i ≤ n 1 \leq i \leq n 1≤i≤n ) 个文字出现在左起第 i i i 个位置 ;

n n n 是指命题变项个数 ;

4.极小项总结 : 满足上述三个条件的简单合取式 , 称为极小项 ;
5. m i m_i mi 与 M i M_i Mi 之间的关系 : ① ¬ m i ⟺ M i \lnot m_i \iff M_i ¬mi⟺Mi ② ¬ M i ⟺ m i \lnot M_i \iff m_i ¬Mi⟺mi

每个命题按照指定顺序 , 且只出现一次的简单合取式 , 称为极小项 ;

极小项列出的是成真赋值 , 因为合取式只有一种情况成真 , 那就是全真 ;

2 . 极大项

关于极大项的说明 :

1.极大项个数 : n n n 个命题变元会产生 2 n 2^n 2n 个极大项 ;
2.互不等值 : 2 n 2^n 2n 个极大项均互不等值 ;
3.极大项 : m i m_i mi 表示第 i i i 个极大项 , 其中 i i i 是该极大项成假赋值的十进制表示 ;
4.极大项名称 : 第 i i i 个极大项 , 称为 M i M_i Mi ;
5. m i m_i mi 与 M i M_i Mi 之间的关系 : ① ¬ m i ⟺ M i \lnot m_i \iff M_i ¬mi⟺Mi ② ¬ M i ⟺ m i \lnot M_i \iff m_i ¬Mi⟺mi

每个命题按照指定顺序 , 且只出现一次的简单析取式 , 称为极小项 ;

极大项列出的是成假赋值 , 因为析取式只有一种情况成假 , 那就是全假 ;

3 . 主合取 ( 析取 ) 范式

① 列出要求主合取 ( 析取 ) 范式的真值表 ;

p , q , r p , q , r p,q,r 三个命题真值从 0 , 0 , 0 0,0,0 0,0,0 到 1 , 1 , 1 1,1,1 1,1,1 , 有 2 3 = 8 2^3 = 8 23=8 列 , 每一列分别对应 m 0 ∼ m 8 m_0 \sim m_8 m0∼m8 极小项 , M 0 ∼ M 8 M_0 \sim M_8 M0∼M8 极大项 ;

② 主析取范式 ( 取极小项 ) : 真值表中的真值为 1 1 1 的列取极小项 ; 极小项成真赋值 ; 根据极小项下标与成真赋值可以列出极小项的命题公式 ;

③ 主合取范式 ( 取极大项 ) : 真值表中的真值为 0 0 0 的列取极大项 ; 极大项成假赋值 ; 根据极大项下标与成假赋值可以列出极大项的命题公式

4 . 总结 :

极小项 : 合取式 , 成真赋值 , 计算时取真值表真列 ;

极大项 : 析取式 , 成假赋值 , 计算时取真值表假列 ;

四、推理演算

推理的形式结构

前提 : A 1 , A 2 , ⋯ , A k A_1 , A_2 , \cdots , A_k A1,A2,⋯,Ak

结论 : B B B

推理的形式结构为 : ( A 1 ∧ A 2 ∧ ⋯ ∧ A k ) → B (A_1 \land A_2 \land \cdots \land A_k) \to B (A1∧A2∧⋯∧Ak)→B

推理定律 : A , B A,B A,B 是两个命题 , 如果 A → B A \to B A→B 是永真式 , 那么 A ⇒ B A \Rightarrow B A⇒B ;

1、附加律

附加律 : A ⇒ ( A ∨ B ) A \Rightarrow (A \lor B) A⇒(A∨B)

根据 推理定律 , A → ( A ∨ B ) A \to (A \lor B) A→(A∨B) 蕴含式是永真式 ;

前提 : A A A

结论 : A ∨ B A \lor B A∨B

A A A 是对的 , 那么 A ∨ B A \lor B A∨B 也是对的 , 后者是在前者基础上附加了一个 B B B ;

2、化简律

化简律 : ( A ∧ B ) ⇒ A ( A \land B ) \Rightarrow A (A∧B)⇒A , ( A ∧ B ) ⇒ B ( A \land B ) \Rightarrow B (A∧B)⇒B

根据 推理定律 , ( A ∧ B ) → A ( A \land B ) \to A (A∧B)→A , ( A ∧ B ) → B ( A \land B ) \to B (A∧B)→B 蕴含式是永真式 ;

前提 : A ∧ B A \land B A∧B

结论 : A A A 或 B B B

A ∧ B A \land B A∧B 是对的 , 那么 A A A 或 B B B 也是对的 , 后者是在前者基础上进行了化简 ;

3、假言推理

假言推理 : ( A → B ) ∧ A ⇒ B ( A \to B ) \land A \Rightarrow B (A→B)∧A⇒B

根据 推理定律 , ( A → B ) ∧ A → B ( A \to B ) \land A \to B (A→B)∧A→B 蕴含式是永真式 ;

前提 : A → B A \to B A→B , A A A

结论 : B B B

这是个典型的小三段论 ;

4、拒取式

拒取式: ( A → B ) ∧ ¬ B ⇒ ¬ A ( A \to B ) \land \lnot B \Rightarrow \lnot A (A→B)∧¬B⇒¬A

根据 推理定律 , ( A → B ) ∧ ¬ B → ¬ A ( A \to B ) \land \lnot B \to \lnot A (A→B)∧¬B→¬A 蕴含式是永真式 ;

前提 : A → B A \to B A→B , ¬ B \lnot B ¬B

结论 : ¬ A \lnot A ¬A

可以理解为是反证法 ;

5、析取三段论

析取三段论 : ( A ∨ B ) ∧ ¬ A ⇒ B ( A \lor B ) \land \lnot A \Rightarrow B (A∨B)∧¬A⇒B , ( A ∨ B ) ∧ ¬ B ⇒ A ( A \lor B ) \land \lnot B \Rightarrow A (A∨B)∧¬B⇒A

根据 推理定律 , ( A ∨ B ) ∧ ¬ A → B ( A \lor B ) \land \lnot A \to B (A∨B)∧¬A→B , ( A ∨ B ) ∧ ¬ B → A ( A \lor B ) \land \lnot B \to A (A∨B)∧¬B→A 蕴含式是永真式 ;

前提 : A ∨ B A \lor B A∨B , ¬ A \lnot A ¬A

结论 : B B B

( A ∨ B ) (A \lor B) (A∨B) 是正确的 , 其中 A A A 是错误的 , 那么 B B B 肯定是正确的 ;

( A ∨ B ) (A \lor B) (A∨B) 是正确的 , 其中 B B B 是错误的 , 那么 A A A 肯定是正确的 ;

警察破案常用推理方式 , 逐一排除嫌疑人 ;

6、假言三段论

假言三段论 : ( A → B ) ∧ ( B → C ) ⇒ ( A → C ) ( A \to B ) \land ( B \to C ) \Rightarrow ( A \to C ) (A→B)∧(B→C)⇒(A→C)

根据 推理定律 , ( A → B ) ∧ ( B → C ) → ( A → C ) ( A \to B ) \land ( B \to C ) \to ( A \to C ) (A→B)∧(B→C)→(A→C) 蕴含式是永真式 ;

前提 : A → B A \to B A→B , B → C B \to C B→C

结论 : A → C A \to C A→C

7、等价三段论

等价三段论: ( A ↔ B ) ∧ ( B ↔ C ) ⇒ ( A ↔ C ) ( A \leftrightarrow B ) \land ( B \leftrightarrow C ) \Rightarrow ( A \leftrightarrow C ) (A↔B)∧(B↔C)⇒(A↔C)

根据 推理定律 , ( ( A ↔ B ) ∧ ( B ↔ C ) ) → ( A ↔ C ) ( ( A \leftrightarrow B ) \land ( B \leftrightarrow C ) ) \to ( A \leftrightarrow C ) ((A↔B)∧(B↔C))→(A↔C) 蕴含式是永真式 ;

前提 : A ↔ B A \leftrightarrow B A↔B , B ↔ C B \leftrightarrow C B↔C

结论 : A ↔ C A \leftrightarrow C A↔C

8、构造性两难

等价三段论: ( A → B ) ∧ ( C → D ) ∧ ( A ∨ C ) ⇒ ( B ∨ D ) ( A \to B ) \land ( C \to D ) \land ( A \lor C ) \Rightarrow ( B \lor D ) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C)⇒(B∨D)

根据 推理定律 , ( ( A → B ) ∧ ( C → D ) ∧ ( A ∨ C ) ) → ( ( B ∨ D ) ) ( ( A \to B ) \land ( C \to D ) \land ( A \lor C ) ) \to ( ( B \lor D ) ) ((A→B)∧(C→D)∧(A∨C))→((B∨D)) 蕴含式是永真式 ;

前提 : A → B A \to B A→B , C → D C \to D C→D , A ∨ C A \lor C A∨C

结论 : B ∨ D B \lor D B∨D

理解方式 :

A A A 是发展经济 , B B B 是污染

C C C 是不发展经济 , D D D 是贫穷

A ∨ B A \lor B A∨B 要么发展经济 , 要么不发展经济

结果是 B ∨ D B \lor D B∨D , 要么产生污染 , 要么忍受贫穷