文章目录
- 一、常系数线性齐次递推方程求解过程
- 二、常系数线性齐次递推方程求解过程 ( 有重根下的通解形式 )
- 三、常系数线性非齐次递推方程 特解形式 ( n n n 的 t t t 次多项式 | 特征根不为 1 1 1 )
- 四、常系数线性非齐次递推方程 特解形式 ( n n n 的 t t t 次多项式 | 特征根为 1 1 1 )
- 五、常系数线性非齐次递推方程 特解形式 ( 非齐次部分是指数 | 底不为特征根 )
- 六、常系数线性非齐次递推方程 特解形式 ( 非齐次部分是指数 | 底是特征根 )
递推方程求解 :
一、常系数线性齐次递推方程求解过程
常系数线性齐次递推方程求解过程 :
1 . 特征方程 :
( 1 ) 递推方程标准形式 : 写出递推方程 标准形式 , 所有项都在等号左边 , 右边是 0 0 0 ;
( 2 ) 特征方程项数 : 确定 特征方程项数 , 与 递推方程项数相同 ;
( 3 ) 特征方程次幂数 : 最高次幂是 特征方程项数 − 1 -1 −1 , 最低次幂 0 0 0 ;
( 4 ) 写出 没有系数 的特征方程 ;
( 5 ) 逐位将递推方程的系数 抄写 到特征方程中 ;
2 . 解特征根 : 将 特征方程的 特征根 解出来 , x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} x=2a−b±b2−4ac
3 . 构造递推方程的通解 :
( 1 ) 无重根 : 构造 c 1 q 1 n + c 2 q 2 n + ⋯ + c k q k n c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^n c1q1n+c2q2n+⋯+ckqkn 形式的线性组合 , 该线性组合就是递推方程的 通解 ;
( 2 ) 有重根 : 参考下面的 “有重根下的通解形式列出” 内容 ;
4 . 求通解中的常数 :
( 1 ) 代入初值获得方程组 : 将递推方程初值代入通解 , 得到 k k k 个 k k k 元方程组 , 通过 解该方程组 , 得到 通解中的常数 ;
( 2 ) 代入常数获得通解 : 将常数代入通解 , 就可以得到最终的递推方程的解 ;
递推方程 -> 特征方程 -> 特征根 -> 通解 -> 代入初值求通解常数
二、常系数线性齐次递推方程求解过程 ( 有重根下的通解形式 )
1 . 特征根数 : q 1 , q 2 , ⋯ , q t q_1, q_2, \cdots , q_t q1,q2,⋯,qt 是递推方程特征根 , 不相等的特征根数 t t t ;
2 . 根据 特征根 写出通解中的项 H i ( n ) H_i(n) Hi(n) : 特征根 q i q_i qi , 重复度 e i e_i ei , 其中 i i i 的取值是 0 0 0 到 t t t ; 第 i i i 个特征根对应的通解项 , 记作 H i ( n ) H_i(n) Hi(n) ;
( 1 ) 组成 : 系数项 乘以 q i n q_i^n qin ;
( 2 ) 系数项 :
① 个数 : 有 e i e_i ei 项 ; 系数项的个数 , 就是该特征根的重复度 ;
② 形式 : 常数 乘以 n n n 的次幂 ; 如 : n e i − 1 n^{e_i-1} nei−1 , 这里有 e i e_i ei 个常数 ;
③ 常数 : 常数下标是从 c i 1 c_{i1} ci1 到 c i e i c_{ie_i} ciei , 下标的右侧部分是 1 1 1 到 e i e_i ei ;
④ n n n 的次幂 : 幂的取值是从 0 0 0 到 e i − 1 e_i - 1 ei−1 ;
⑤ 建议排列方式 : 常数 和 次幂 , 最好都从小到大排列 , 常数下标 与 n n n 的幂 相差 1 1 1 ;
( 3 ) 通解第 i i i 项 : H i ( n ) = ( c i 1 + c i 2 n + ⋯ + c i e i n e i − 1 ) q i n H_i(n) = (c_{i1} + c_{i2}n + \cdots + c_{ie_i}n^{e_i - 1})q_i^n Hi(n)=(ci1+ci2n+⋯+cieinei−1)qin
3 . 写出通解 :
( 1 ) 通解项数 : 特征根数 t t t ;
( 2 ) 通解组成 : 每个特征根对应的通解项 , 加到一起 , 就是完整的通解 ;
( 3 ) 最终结果 : H ( n ) = ∑ i = 1 t H i ( n ) H(n) = \sum\limits_{i=1}^tH_i(n) H(n)=i=1∑tHi(n)
三、常系数线性非齐次递推方程 特解形式 ( n n n 的 t t t 次多项式 | 特征根不为 1 1 1 )
1 . 特解形式 :
( 1 ) 特解形式 : 特解 H ∗ ( n ) H^*(n) H∗(n) 是 n n n 的 t t t 次多项式 , n n n 的幂取值从 0 0 0 到 t t t , 因此其 项数有 t + 1 t+1 t+1 项 ;
( 2 ) 特解每项组成 :
① 项数 : t + 1 t+1 t+1 项
② 组成 : 特解项由 常数 乘以 n n n 的次幂 组成 , 常数是未知的 ;
③ 常数 : t + 1 t+1 t+1 个常数 , 使用下标标识好 ;
④ n n n 的幂 : 幂取值从 0 0 0 到 t t t ;
2 . 举例 : 特解 H ∗ ( n ) H^*(n) H∗(n) 是 n n n 的 2 2 2 次多项式 ;
特解项数 : 则 特解项数 是 2 + 1 = 3 2 + 1 = 3 2+1=3 项 ;
特解每项组成 : 特解每一项由 常数 乘以 n n n 的次幂 组成 ,
-
3
3
3 个常数 设为
P
1
,
P
2
,
P
3
P_1, P_2, P_3
P1,P2,P3 ,
-
3
3
3 个
n
n
n 的次幂 , 幂取值 从
0
0
0 到
2
2
2 ,
因此特解的形式为 H ∗ ( n ) = P 1 n 2 + P 2 n 1 + P 3 n 0 H^*(n) = P_1n^2 + P_2n^1 + P_3n^0 H∗(n)=P1n2+P2n1+P3n0 ,
化简后为 : H ∗ ( n ) = P 1 n 2 + P 2 n + P 3 H^*(n) = P_1n^2 + P_2n + P_3 H∗(n)=P1n2+P2n+P3
四、常系数线性非齐次递推方程 特解形式 ( n n n 的 t t t 次多项式 | 特征根为 1 1 1 )
常系数线性非齐次递推方程 : H ( n ) − a 1 H ( n − 1 ) − ⋯ − a k H ( n − k ) = f ( n ) H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = f(n) H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=f(n) , n ≥ k , a k ≠ 0 , f ( n ) ≠ 0 n\geq k , a_k\not= 0, f(n) \not= 0 n≥k,ak=0,f(n)=0
上述方程左侧 与 “常系数线性齐次递推方程” 是一样的 , 但是右侧不是 0 0 0 , 而是一个基于 n n n 的 函数 f ( n ) f(n) f(n) , 这种类型的递推方程称为 “常系数线性非齐次递推方程” ;
特解与 “常系数线性非齐次递推方程” 中的右部 f ( n ) f(n) f(n) 有关 ,
f ( n ) f(n) f(n) 为 n n n 的 t t t 次多项式 ,
如果齐次部分 特征根 不为 1 1 1 , 则特解 H ∗ ( n ) H^*(n) H∗(n) 也 是 n n n 的 t t t 次多项式 ;
如果齐次部分 特征根 为 1 1 1 , 重复度为 e e e , 则特解 H ∗ ( n ) H^*(n) H∗(n) 也 是 n n n 的 t + e t + e t+e 次多项式 ;
提高的次幂是 特征根 1 1 1 的重复度 , 如果重复度为 2 2 2 , 则需要提高 2 2 2 次幂 ;
为了解决上述问题 , 这里需要将 n n n 的次幂提高 1 1 1 , 将特解形式中的一次方项 , 设置成平方项 , 其中常数项不设置 , 即使设置了也会抵消掉 , 无法求出常数项值 ;
五、常系数线性非齐次递推方程 特解形式 ( 非齐次部分是指数 | 底不为特征根 )
常系数线性非齐次递推方程 : H ( n ) − a 1 H ( n − 1 ) − ⋯ − a k H ( n − k ) = f ( n ) H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = f(n) H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=f(n) , n ≥ k , a k ≠ 0 , f ( n ) ≠ 0 n\geq k , a_k\not= 0, f(n) \not= 0 n≥k,ak=0,f(n)=0
上述方程左侧 与 “常系数线性齐次递推方程” 是一样的 , 但是右侧不是 0 0 0 , 而是一个基于 n n n 的 函数 f ( n ) f(n) f(n) , 这种类型的递推方程称为 “常系数线性非齐次递推方程” ;
非齐次部分是指数的情况 :
如果上述 “常系数线性非齐次递推方程” 的 非齐次部分 f ( n ) f(n) f(n) 是指数函数 , β n \beta^n βn ,
如果 β \beta β 不是特征根 ,
则非齐次部分的特解形式为 : H ∗ ( n ) = P β n H^*(n) = P\beta^n H∗(n)=Pβn ,
P P P 是常数 ;
将上述特解 H ∗ ( n ) = P β n H^*(n) = P\beta^n H∗(n)=Pβn , 代入递推方程 , 求解出常数 P P P 的值 , 进而得到了完整的特解 ;
“常系数线性非齐次递推方程” 的通解是 H ( n ) = H ( n ) ‾ + H ∗ ( n ) H(n) = \overline{H(n)} + H^*(n) H(n)=H(n)+H∗(n)
使用上述解出的 特解 , 与递推方程 齐次部分的通解 , 组成递推方程的完整通解 ;
六、常系数线性非齐次递推方程 特解形式 ( 非齐次部分是指数 | 底是特征根 )
常系数线性非齐次递推方程 : H ( n ) − a 1 H ( n − 1 ) − ⋯ − a k H ( n − k ) = f ( n ) H(n) - a_1H(n-1) - \cdots - a_kH(n-k) = f(n) H(n)−a1H(n−1)−⋯−akH(n−k)=f(n) , n ≥ k , a k ≠ 0 , f ( n ) ≠ 0 n\geq k , a_k\not= 0, f(n) \not= 0 n≥k,ak=0,f(n)=0
上述方程左侧 与 “常系数线性齐次递推方程” 是一样的 , 但是右侧不是 0 0 0 , 而是一个基于 n n n 的 函数 f ( n ) f(n) f(n) , 这种类型的递推方程称为 “常系数线性非齐次递推方程” ;
非齐次部分是 指数函数 且 底是特征根的情况 :
如果上述 “常系数线性非齐次递推方程” 的 非齐次部分 f ( n ) f(n) f(n) 是指数函数 , β n \beta^n βn ,
如果 β \beta β 是 e e e 重特征根 ,
非齐次部分的特解形式为 : H ∗ ( n ) = P n e β n H^*(n) = P n^e \beta^n H∗(n)=Pneβn ,
P P P 是常数 ;
将上述特解 H ∗ ( n ) = P n e β n H^*(n) = P n^e \beta^n H∗(n)=Pneβn , 代入递推方程 , 求解出常数 P P P 的值 , 进而得到了完整的特解 ;
“常系数线性非齐次递推方程” 的通解是 H ( n ) = H ( n ) ‾ + H ∗ ( n ) H(n) = \overline{H(n)} + H^*(n) H(n)=H(n)+H∗(n)
使用上述解出的 特解 , 与递推方程 齐次部分的通解 , 组成递推方程的完整通解 ;
