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一、常系数线性齐次递推方程
常系数线性齐次递推方程 :
{ H ( n ) − a 1 H ( n − 1 ) − a 2 H ( n − 2 ) − ⋯ − a k H ( n − k ) = 0 H ( 0 ) = b 0 , H ( 1 ) = b 1 , H ( 2 ) = b 2 , ⋯ , H ( k ) = b k \begin{cases} H(n) - a_1H(n-1) - a_2H(n-2) - \cdots - a_kH(n-k) = 0 \\\\ H(0) = b_0 , H(1) = b_1 , H(2) = b_2 , \cdots , H(k) = b_k \end{cases} ⎩⎪⎨⎪⎧H(n)−a1H(n−1)−a2H(n−2)−⋯−akH(n−k)=0H(0)=b0,H(1)=b1,H(2)=b2,⋯,H(k)=bk
常系数 是指数列的 项之前的 系数 a 1 , a 2 , ⋯ , a k a_1 , a_2 , \cdots , a_k a1,a2,⋯,ak 都是常数 , a k ≠ 0 a_k \not=0 ak=0 ;
齐次 指的是将数列项移动到左边 , 右边项等于 0 0 0 ;
上述称为 k k k 阶 常系数线性齐次递推方程 ;
b 0 , b 1 , b 2 , ⋯ , b k b_0 , b_1, b_2 , \cdots , b_k b0,b1,b2,⋯,bk 是 递推方程的 k k k 个初值 ;
二、常系数、线性、齐次 概念说明
常系数、线性、齐次 概念说明 :
1 . 常系数概念 : 常系数指的是 T ( n ) , T ( n − 1 ) T(n) , T(n-1) T(n),T(n−1) 这些 项之前的系数 , 都是常数 , 如 2 T ( n − 1 ) 2 T(n-1) 2T(n−1) , T ( n − 1 ) T(n-1) T(n−1) 项前的系数是 常数 2 2 2 ;
之前栗子中介绍过的递推方程 , 如
- 汉诺塔递推方程 T ( n ) = 2 T ( n − 1 ) + 1 T(n) =2 T(n-1) + 1 T(n)=2T(n−1)+1
- 插入排序递推方程
W
(
n
)
=
W
(
n
−
1
)
+
n
−
1
W(n) = W(n-1) + n-1
W(n)=W(n−1)+n−1
都是 常系数线性递推方程 , 不是齐次的 ;
2 . 线性概念 : 第 n n n 项是前面若干项 n − 1 n-1 n−1 的 线性组合 , 没有指数等关系 , 因此成为线性 ;
3 . 齐次概念 : 在 T ( n ) T(n) T(n) 项之外没有其它元素 , 只有项 , 上述 T ( n ) = 2 T ( n − 1 ) + 1 T(n) =2 T(n-1) + 1 T(n)=2T(n−1)+1 在项之外还有一个常数 1 1 1 , 该递推方程就不是齐次的 ; 如果改成 T ( n ) = 2 T ( n − 1 ) T(n) =2 T(n-1) T(n)=2T(n−1) , 该递推方程就是齐次的 ;
三、常系数线性齐次递推方程公式解法
1 . 特征根、通解、特解
特征根 : 根据原始的 递推方程 , 求出 特征根 ;
通解 : 利用 特征根 , 写出 通解 ;
特解 : 根据 通解 , 代入递推方程初值 , 获取针对这些初值的 特解 , 即针对该数列的解 ,
2 . 通解与特解的关系 :
递推方程与初值 : 递推方程的依赖关系 , 递推方程表达的不止一个数列 , 递推方程是 表达具有相同依赖关系的无穷数列 , 不同的递推方程初值 , 对应着不同的数列 , 递推方程 和 初值才能唯一确定一个数列 ;
递推方程、通解关系 : 通解 实际上是对递推方程 对应的 无穷数列 的共有的解 , 并 不能唯一确定一个数列 ;
特解、数列关系 : 通解的一些待定系数 , 要由初值确定 , 通解代入初值 , 得到的 特解 , 才能唯一确定给定数列 ;
四、常系数线性齐次递推方程公式解法内容概要
递推方程公式解法内容概要 :
- 特征方程与特征根
- 递推方程的解与特征根关系
- 解的线性性质
- 无重根下通解结构
- 有重根下通解结构
