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一、有重根递推方程求解问题


有些 递推方程 的 特征方程 的 特征根 有 重根 的情况 , 特征方程解出来的 特征根有一部分是相等的 , 这样就使得 通解中的常数无法获取唯一的值 ;



​参考 :​ ​​【组合数学】递推方程 ( 通解定义 | 无重根下递推方程通解结构定理 ) 二、无重根下递推方程通解结构定理​​

在 “无重根下递推方程通解结构定理” 章节中 , 通解要求 方程组中的 系数行列式不等于 0 0 0 , ∏ 1 ≤ i < j ≤ k ( q i − q k ) ≠ 0 \prod\limits_{1 \leq i < j \leq k} ( q_i - q_k ) \not= 0 1≤i<j≤k∏(qi−qk)=0 , 如果有两个特征根 q i , q k q_i , q_k qi,qk 相等 , 则上面的 "系数行列式不等于 0 0 0" 便无法实现 ;



如果特征方程有重根 , 就不能使用 “无重根下递推方程公式求法” 进行递推方程的求解 ;



针对有重根的递推方程 , 需要将其 线性无关的元素 都找到 , 线性组合在一起 , 才能得到通解 ;



​线性组合 :​ 将一个解乘以 c 1 c_1 c1 , 另一个解乘以 c 2 c_2 c2 , 相加之后的组合 ;






二、有重根递推方程示例


​递推方程 :​ H ( n ) − 4 H ( n − 1 ) + 4 H ( n − 2 ) = 0 H(n) - 4H(n-1) + 4H(n-2) = 0 H(n)−4H(n−1)+4H(n−2)=0

​初值 :​ H ( 0 ) = 0 , H ( 1 ) = 1 H(0) = 0 , H(1) = 1 H(0)=0,H(1)=1





​无重根下递推方程求解完整过程 :​


  • ​1 . 写出特征方程 :​


    • ​( 1 ) 递推方程标准形式 :​ 写出递推方程 标准形式 , 所有项都在等号左边 , 右边是 0 0 0 ;
    • ​( 2 ) 特征方程项数 :​ 确定 特征方程项数 , 与 递推方程项数相同 ;
    • ​( 3 ) 特征方程次幂数 :​ 最高次幂是 特征方程项数 − 1 -1 −1 , 最低次幂 0 0 0 ;
    • ​( 4 )​ 写出 没有系数 的特征方程 ;
    • ​( 5 ) 逐位将递推方程的系数 抄写 到特征方程中 ;​


  • ​2 . 解特征根 :​ 将 特征方程的特征根解出来 , x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} x=2a−b±b2−4ac ​​
  • ​3 . 构造递推方程的通解 :​ 构造 c 1 q 1 n + c 2 q 2 n + ⋯ + c k q k n c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^n c1​q1n​+c2​q2n​+⋯+ck​qkn​ 形式的线性组合 , 该线性组合就是递推方程的解 ;
  • ​4 . 求通解中的常数 :​ 将递推方程初值代入通解 , 得到
  • k k k 个 k k k 元方程组 , 通过解该方程组 , 得到通解中的常数 ;
    • ​( 1 ) 常数代入通解 :​ ​得到最终的递推方程的解 ;

      ​递推方程 -> 特征方程 -> 特征根 -> 通解 -> 代入初值求通解常数​






​根据上述求解过程进行求解 :​



​1 . 特征方程 :​

​( 1 ) 递推方程标准形式 :​ 递推方程已经是标准形式 ;

​( 2 ) 特征方程项数 :​ 与 递推方程项数 相同 , 3 3 3 项 ;

​( 3 ) 特征方程次幂数 :​ 最高次幂是 特征方程项数减一 , 3 − 1 = 2 3-1=2 3−1=2 , 最低次幂 0 0 0 ;

​( 4 )​ ​写出 没有系数 的特征方程 :​ x 2 + x + 1 = 0 x^2 + x + 1 = 0 x2+x+1=0

​( 5 ) 逐位将递推方程的系数 抄写 到特征方程中 ;​

1 x 2 + ( − 4 ) x + ( 4 ) 1 = 0 1x^2 + (-4)x + (4)1 = 0 1x2+(−4)x+(4)1=0

x 2 − 4 x + 4 = 0 x^2 - 4x + 4 = 0 x2−4x+4=0



​2 . 解特征根 :​ 将 特征方程的特征根解出来 , x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a x = \cfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} x=2a−b±b2−4ac

x = 4 ± 16 − 16 2 = 2 x=\cfrac{4 \pm \sqrt{16 - 16}}{2} = 2 x=24±16−16 =2

​两个特征根都是 2 2 2 , q 1 = 2 , q 2 = 2 q_1=2, q_2 = 2 q1=2,q2=2 ;​



​3 . 构造递推方程的通解 :​ 构造 c 1 q 1 n + c 2 q 2 n + ⋯ + c k q k n c_1q_1^n + c_2q_2^n + \cdots + c_kq_k^n c1q1n+c2q2n+⋯+ckqkn 形式的线性组合 , 该线性组合就是递推方程的解 ;

​通解是 :​ H ( n ) = c 1 2 n + c 2 2 n = c 2 n H(n) = c_12^n + c_22^n = c2^n H(n)=c12n+c22n=c2n



​4 . 求通解中的常数 :​ 将递推方程初值代入通解 , 得到 k k k 个 k k k 元方程组 , 通过解该方程组 , 得到通解中的常数 ;

​将 c 2 n c2^n c2n 代入到 x 2 − 4 x + 4 = 0 x^2 - 4x + 4 = 0 x2−4x+4=0 特征方程中 , c c c 是无解的 ;​




如果 两个特征根 都是 2 2 2 , 线性相关 , 此时就 无法确定通解中的 c 1 , c 2 c_1, c_2 c1,c2 待定常数 ;

观察 n 2 n n2^n n2n 是解 , 该解与 2 n 2^n 2n 线性无关 , 将上述两个解进行线性组合 ,

c 1 n 2 n + c 2 2 n c_1n2^n + c_22^n c1n2n+c22n 线性组合 , 是递推方程的解 ,

将初值代入 , 可以解出 c 1 , c 2 c_1, c_2 c1,c2 常数的值 ;