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参考博客 :
- 【组合数学】生成函数 简要介绍 ( 生成函数定义 | 牛顿二项式系数 | 常用的生成函数 | 与常数相关 | 与二项式系数相关 | 与多项式系数相关 )
- 【组合数学】生成函数 ( 线性性质 | 乘积性质 )
- 【组合数学】生成函数 ( 移位性质 )
- 【组合数学】生成函数 ( 求和性质 )
- 【组合数学】生成函数 ( 换元性质 | 求导性质 | 积分性质 )
- 【组合数学】生成函数 ( 性质总结 | 重要的生成函数 ) ★
- 【组合数学】生成函数 ( 生成函数示例 | 给定通项公式求生成函数 | 给定生成函数求通项公式 )
一、生成函数应用场景
生成函数应用场景 :
- 求解递推方程
- 多重集 r r r 组合计数
- 不定方程解个数
- 整数拆分
多重集 r r r 组合计数 , 之前 只能计数特殊情况下的组合数 , 也就是选取数 r r r 小于多重集每一项的重复度 , 才有 组合数 N = C ( k + r − 1 , r ) N= C(k + r - 1, r) N=C(k+r−1,r) , 如果 r r r 大于重复度 , 就需要使用生成函数进行求解 ;
不定方程的解个数 , 之前只能求解 没有约束的情况 , 如果对变量有约束 , 如 x 1 x_1 x1 只能在某个区间取值 , 这种情况下 , 就必须使用生成函数进行求解 ;
整数拆分 , 将一个正数拆分多若干整数之和 , 拆分方案个数 , 也可以通过生成函数进行计算 ;
回顾多重集排列组合 :
- 可重复的元素 , 有序的选取 , 对应 多重集的排列 ; 全 排 列 = n ! n 1 ! n 2 ! ⋯ n k ! 全排列 = \cfrac{n!}{n_1! n_2! \cdots n_k!} 全排列=n1!n2!⋯nk!n! , 非全排列 k r , r ≤ n i k^r , \ \ r\leq n_i kr, r≤ni
-
可重复的元素 , 无序的选取 , 对应 多重集的组合 ;
N
=
C
(
k
+
r
−
1
,
r
)
N= C(k + r - 1, r)
N=C(k+r−1,r)
二、使用生成函数求解递推方程
递推方程 : a n − 5 a n − 1 + 6 a n − 2 = 0 a_n - 5a_{n-1} + 6a_{n-2} = 0 an−5an−1+6an−2=0
初值 : a 0 = 1 , a 1 = 2 a_0 = 1, a_1 = 2 a0=1,a1=2
{ a n } \{a_n\} {an} 数列为 { a 0 , a 1 , a 2 , a 3 , ⋯ , a n , ⋯ } \{ a_0 , a_1, a_2, a_3 , \cdots , a_n , \cdots\} {a0,a1,a2,a3,⋯,an,⋯}
a n a_n an对应的生成函数是 G ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ⋯ G(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3x^3 + \cdots G(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯
根据递推方程 , 同时为了使得后面的项可以约掉 , 使用 − 5 x -5x −5x 乘以 G ( x ) G(x) G(x) 生成函数 , 使用 + 6 x 2 +6x^2 +6x2 乘以 G ( x ) G(x) G(x) , 得到如下三个式子 ,
− 5 x -5x −5x 乘以 G ( x ) G(x) G(x) 得到的第一项就是 x x x 的一次方项 , 将该项对应到 G ( x ) G(x) G(x) 中的 x x x 一次方项下面 ,
+ 6 x 2 +6x^2 +6x2 乘以 G ( x ) G(x) G(x) 得到的第一项就是 x x x 的二次方项 , 将该项对应到 G ( x ) G(x) G(x) 中的 x x x 二次方项下面 ;
G ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + ⋯ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ G(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3x^3 + \cdots G(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯
− 5 x G ( x ) = − 5 a 0 x − 5 a 1 x 2 − 5 a 2 x 3 − ⋯ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ -5x \ G(x) = \ \ \ \ -5a_0x - 5a_1x^2 - 5a_2x^3 - \cdots −5x G(x)= −5a0x−5a1x2−5a2x3−⋯
6 x 2 G ( x ) = + 6 a 0 x 2 + 6 a x 3 + ⋯ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 6x^2 \,G(x) = \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ + \,6a_0x^2 + 6a_x^3 + \cdots 6x2G(x)= +6a0x2+6ax3+⋯
( 1 − 5 x + 6 x 2 ) G ( x ) = a 0 + ( a 1 − 5 a 0 ) x (1-5x+6x^2)G(x) =a_0 + (a_1 - 5a_0)x (1−5x+6x2)G(x)=a0+(a1−5a0)x
上述横线下的式子是 横线上面 三个式子相加的结果 ;
观察上述右侧 第三列 , 图中红框部分 ;
上述幂次对齐后 , 出现的等号右侧的第三列 + a 2 x 2 − 5 a 1 x 2 + 6 a 0 x 2 + a_2 x^2 -5a_1x^2 + \,6a_0x^2 +a2x2−5a1x2+6a0x2 , 将其中 x 2 x^2 x2 提取出来得到 ( a 2 − 5 a 1 + 6 a 0 ) x 2 (a_2 - 5a_1 + 6a_0)x^2 (a2−5a1+6a0)x2 , 正好对应递推方程 a n − 5 a n − 1 + 6 a n − 2 = 0 a_n - 5a_{n-1} + 6a_{n-2} = 0 an−5an−1+6an−2=0 ,
因此有 a 2 − 5 a 1 + 6 a 0 = 0 a_2 - 5a_1 + 6a_0 = 0 a2−5a1+6a0=0 , 进而可以得到 ( a 2 − 5 a 1 + 6 a 0 ) x 2 = 0 (a_2 - 5a_1 + 6a_0)x^2 = 0 (a2−5a1+6a0)x2=0
由此可以看出 , 如果三个式子全部相加 , 下图 右侧蓝色矩形框内 , 全部都是 0 0 0 ;
目前右侧只剩下 a 0 + a 1 x − 5 a 0 x a_0 + a_1x -5a_0x a0+a1x−5a0x 三项 ; 其中的 a 0 = 1 , a 1 = − 2 a_0 = 1 , a_1 = -2 a0=1,a1=−2 是初值 ;
最终等式右侧是 : 1 − 2 x − 5 x = 1 − 7 x 1 - 2x - 5x = 1-7x 1−2x−5x=1−7x
将上述式子代入到 ( 1 − 5 x + 6 x 2 ) G ( x ) = a 0 + ( a 1 − 5 a 0 ) x (1-5x+6x^2)G(x) =a_0 + (a_1 - 5a_0)x (1−5x+6x2)G(x)=a0+(a1−5a0)x 中 , 使用 1 − 2 x − 5 x = 1 − 7 x 1 - 2x - 5x = 1-7x 1−2x−5x=1−7x 替换等式右侧的式子 , 得到 :
( 1 − 5 x + 6 x 2 ) G ( x ) = 1 − 7 x (1-5x+6x^2)G(x) =1-7x (1−5x+6x2)G(x)=1−7x
G ( x ) = 1 − 7 x 1 − 5 x + 6 x 2 G(x) = \cfrac{1-7x}{1-5x+6x^2} G(x)=1−5x+6x21−7x
使用 给定 生成函数 , 求对应的级数 的 方法 , 将上述式子展开 , 参考 【组合数学】生成函数 ( 生成函数示例 | 给定通项公式求生成函数 | 给定生成函数求通项公式 ) 二、给定生成函数求级数 方法 ,
先将分母进行因式分解 , 然后设置两个待定系数 , 通分后 , 根据 x x x 项系数写出方程组 , 最终解该方程组 , 最终可以得到 :
G ( x ) = 1 − 7 x 1 − 5 x + 6 x 2 = 5 1 − 2 x − 4 1 − 3 x G(x) = \cfrac{1-7x}{1-5x+6x^2} = \cfrac{5}{1-2x} - \cfrac{4}{1-3x} G(x)=1−5x+6x21−7x=1−2x5−1−3x4
5 1 − 2 x \cfrac{5}{1-2x} 1−2x5 对应的级数是 : ∑ n = 0 ∞ 5 ( 2 x ) n = 5 ∑ n = 0 ∞ 2 n x n \sum\limits_{n=0}^\infty 5 (2x)^n = 5\sum\limits_{n=0}^\infty 2^n x^n n=0∑∞5(2x)n=5n=0∑∞2nxn
4 1 − 3 x \cfrac{4}{1-3x} 1−3x4 对应的级数是 : ∑ n = 0 ∞ ( − 4 ) ( 3 x ) n = − 4 ∑ n = 0 ∞ 3 n x n \sum\limits_{n=0}^\infty (-4) (3x)^n = -4\sum\limits_{n=0}^\infty 3^n x^n n=0∑∞(−4)(3x)n=−4n=0∑∞3nxn
最终生成函数的级数形式为 : G ( x ) = 5 ∑ n = 0 ∞ 2 n x n − 4 ∑ n = 0 ∞ 3 n x n G(x) = 5\sum\limits_{n=0}^\infty 2^n x^n - 4\sum\limits_{n=0}^\infty 3^n x^n G(x)=5n=0∑∞2nxn−4n=0∑∞3nxn
递推方程的通解 : a n = 5 ⋅ 2 n − 4 ⋅ 3 n a_n = 5 \cdot 2^n - 4 \cdot 3^n an=5⋅2n−4⋅3n
基本思路 : 有原来的递推方程 , 导出关于生成函数的递推方程 ;
