拉普拉斯变换是我们设计电路的重要数学工具，应用性非常强。前面的文章中我们介绍了傅里叶变换，现在我们来看看拉式变换的应用。
按照惯例，先从拉式变换的实际应用入手，最后再来推导它本身。这样对于一些急于应付考试的同学也很有帮助。
这就是拉式变换的数学表达式，可以看到和傅里叶变换是非常相似的，唯一的区别就是把jw换成了s，而s=jw+σ。
这是什么意思呢？
实际上，我们在对一个信号进行分解时，我们可以得到这个信号所蕴含的频率，以及这个频率对应的振幅。
但是！
在现实生活中，信号的振幅是持续不变的吗？在传递过程中，如果信号发生了衰减或者放大，只使用傅里叶变换是不是描述的就不够清晰了？
比如这个信号：
它本身的频率没有改变，但是振幅却在缩小，如果我们对它进行ft，那分解出来的只会是一堆振幅频率各异的信号，但实际上这个信号只有一个频率，只是振幅在衰减罢了。
因此，在傅里叶变换的基础之上，我们有了拉氏变换。
拉氏变换其实很好理解，在分解信号时，除了它蕴含的频率之外，还引入了一个额外的量，就是这个信号的振幅的变化趋势，也就是为什么相比傅里叶变换，拉式变换的式子里多了个σ。
再看这张图，相比ft，拉式变换得到的是一个三维坐标图，坐标轴分别是jw，σ，以及F(s)，其中，如果σ=0，那么式子就变成了傅里叶变换，也就是说这个三维坐标图忽略掉σ轴，得到的就是信号的频域！
这就是傅里叶和拉普拉斯两个变换之间的联系。
接下来我们来尝试一下用它来分解一些函数，看看能得到些什么：
先来个简单的，f(t) = e^(-at)
具体过程没什么好说的，主要是在t趋近无穷的时候，e^(-t)趋近于0。
再来几个复杂点的：
f(t) = sin(at)
这个函数首先需要利用欧拉公式转化为指数形式：
现在sinat被转换成了一个减式，由于拉氏变换是一个线性变换，所以我们可以分别对分子的两部分进行拉式变换，再相减：
（这里我们代入了e^at的拉式变换结果）
然后，我们再来看看对一个函数的导数进行拉式变换的结果：
这里把e^-st看做一个单独的函数g(t)，然后用了一个复合函数求导的公式，最后求极限得到结果，f(0)即初始状态，通常呢被忽略掉。同样的方法，还可以求出二次导和微分的拉式变换：
感兴趣的小伙伴可以自行推导。
还有看看卷积的拉式变换：
f(t)*g(t) = F(s)G(s)
这个结论非常重要，因为它把复杂的卷积运算变成了一个简单的乘式。
对卷积还不太明白或者忘了的小伙伴可以看看我上一篇文章关于卷积的描述。
关于卷积的拉式变换证明暂时先略过，放到以后的文章来推导，我们先来看看拉式变换在电路分析中的作用。
除了分解信号之外，拉式变换在电路分析中也非常有用处，它可以帮助我们推导出系统的传递函数，也就是Transform function。
我们从最简单的一个电感，电阻，电容和电源串联的电路进行举例分析：
首先，通过电路建模（基尔霍夫定律，基本功这里就不讲了，以后再补充吧）得到其微分方程。
然后，我们对式子两边同时进行拉式变换，综合上面我们推导的结果可以得到：
通过拉式变换，我们就把这个电路的微分方程变成了简单的加减乘除，是不是非常神奇？
最后我们得到的输入和输出的关系，那个框里的式子，就是这个电路系统的传递函数！
传递函数有什么用？那简直太重要了，它可以反应一个系统的特性，是分析系统的重要工具。我将在下一篇文章中继续讲述。
