由于自动控制研究的是动态过程,因此常常用微分方程来描述。非线性微分方程的求解十分困难,因此常常在正常工作点附近将非线性微分方程线性化来得到线性微分方程,再通过拉普拉斯变换将微分方程转换为代数方程进行求解。

在自控原理基础中,拉普拉斯变换(拉氏变换)作为一个工具,在大多数情况下不需要考虑数学意义上严谨的使用条件。在此不介绍具体知识,仅给出常用的拉氏变换对及性质。

拉普拉斯变换:

函数python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_阶跃函数的拉氏变换:python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_时间函数_02

函数python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_时间函数_03的拉氏逆变换: python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_04

注意此处有隐含要求:当 python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_时间函数_05 时,python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_06.控制理论中涉及的时间函数 python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_阶跃函数 在时间为负时总是等于 python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_阶跃函数_08,因此采用的是单边拉普拉斯变换。有时积分下限设为 python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_09 ,这是是为了处理有些时间函数在 python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_时间函数_10 的点上不连续的情况。
在本篇中为描述方便,也记
python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_阶跃函数_11

对于自控原理基础的内容,在一般的情况下很少需要通过定义来计算时间函数的拉氏变换,大多数情况下只需要根据常用的拉氏变换对以及性质计算即可。

常用拉氏变换对

python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_阶跃函数_12

python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_时间函数_13

脉冲函数 python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_14

1

阶跃函数 python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_时间函数_15

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常用性质

  1. 线性定理
    python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_33 为常数,则有:python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_时间函数_34
  2. 比例定理
    python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_阶跃函数_35为常数,则有:python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_阶跃函数_36
  3. 时域平移定理
    python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_阶跃函数_37为正常数,将python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_时间函数_38纯滞后python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_时间函数_39秒:python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_阶跃函数_40 , 则有:python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_41
  4. 复域平移定理
    python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_阶跃函数_37为实数或负数 ,则有:python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_阶跃函数_43
  5. 实微分定理
    python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_44python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_时间函数_38python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_46阶导数分别存在,且其拉氏变换也都存在,则有:python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_阶跃函数_47
  6. 实积分定理
    python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_44 ,则有多重积分的拉氏变换:python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_49多重定积分的拉氏变换:python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_阶跃函数_50
  7. 复微分定理
    python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_44 ,则除python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_阶跃函数_52的极点外,有:python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_时间函数_53
  8. 复积分定理
    python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_44 ,则除python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_阶跃函数_52的极点外,有:python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_56
  9. 卷积定理
    函数python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_阶跃函数_57与函数python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_时间函数_58的卷积运算为:python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_59python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_时间函数_60python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_阶跃函数_61 ,则有:python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_62
  10. 函数乘积的拉氏变换
    python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_44python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_64,则有:python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_时间函数_65
  11. 终值定理
    python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_44python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_67的所有极点均位于左半开平面,则python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_阶跃函数_68存在,成立终值定理:python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_69
  12. 初值定理
    python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_时间函数_70的拉氏变换存在、python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_时间函数_71存在,则有初值定理:python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_时间函数_72

拉氏反变换

除根据常见拉氏变换对、使用拉氏变换公式和性质进行拉式反变换外,一般用部分分式展开法。
python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_时间函数_03 是关于 python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_时间函数_74 的有理真分式,python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_75其中 python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_时间函数_76 是实常数,python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_77 是正整数,将 python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_时间函数_03

情况一:特征方程 python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_阶跃函数_79
在此情况下 python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_时间函数_03 可以展开成:python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_时间函数_81其中 python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_阶跃函数_82 为特征方程 python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_83 的第 python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_84 个单根,python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_阶跃函数_85python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_时间函数_03python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_阶跃函数_82 处的留数,其计算方法如下:python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_时间函数_88注意这里的 python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_阶跃函数_85

情况二:特征方程python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_阶跃函数_79有重根
python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_91python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_92 重根 python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_93 ,则在此情况下有:python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_阶跃函数_94于是 python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_时间函数_03 可以展开成:python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_96其中 python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_阶跃函数_97

留数 python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_阶跃函数_85 按照情况一中方法计算,留数 python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_时间函数_99 的计算方法如下:python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_阶跃函数_100python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_101python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_102python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_103注意这里的 python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_时间函数_104

以情况二为一般情况,可以得到 python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_105 python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_控制理论_106python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_时间函数_107

结语

最后需要说明的是:
有些函数是无法进行拉普拉斯变换的(在数学上,函数 python实现拉普拉斯函数 怎么进行拉普拉斯变换 如何进行拉普拉斯变换_阶跃函数 存在拉氏变换的条件是拉普拉斯积分收敛),
但是物理上可以实现的信号总是存在拉氏变换的。