opencv 拉普拉斯变换 1做拉普拉斯变换

1. 拉普拉斯变换

文章目录

• 1. 拉普拉斯变换

• 1.1. 定义

• 1.1.1. 计算公式
• 1.1.2. 收敛域的计算
• 1.1.3. 拉氏变换与傅氏变换的关系

• 1.2. 性质

• 1.2.1. 线性
• 1.2.2. 时移
• 1.2.3. 复频移
• 1.2.4. 尺度变换
• 1.2.5. 时域微分特性
• 1.2.6.
• 1.2.7. 时域积分特性
• 1.2.8.
• 1.2.9. 时域卷积定理
• 1.2.10. 初值定理
• 1.2.11. 终值定理

• 1.3. 常见的拉氏变换对

• 1.3.1. 直流或正幂项
• 1.3.2. 单根极点
• 1.3.3. 共轭复根极点
• 1.3.4. 重根极点
• 1.3.5. 周期极点

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1.1. 定义

1.1.1. 计算公式

$\begin{aligned} F(s) &= \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-st} dt\\ f(t) &= \frac{1}{2\pi j} \int_{\sigma - j\infty}^{\sigma + j\infty} F(s) e^{st} ds \end{aligned}$

其中，$s$ 是一个复数，可以写为 $s = \sigma + jw$；
$f(t)e^{-st} = f(t)e^{-\sigma t} \cdot e^{-jwt}$，有点类似对 $f(t)e^{-\sigma t}$

1.1.2. 收敛域的计算

因为增加了一个收敛因子 $e^{-\sigma t}$ ，只要找到合适的 $\sigma$ 就可以使得 $f(t)e^{-\sigma t}$ 绝对收敛，即
$\displaystyle\lim_{t\to \pm \infty} f(t) e^{-\sigma t} = 0$
满足此式的 $s$

主要分为 4 种情况：右边信号，左边信号，双边信号，时限信号；

• 右边信号
  右边信号的收敛域往往包含复平面的右半面，（非严谨）证明如下：
  对于右边信号，当 $t < t_0$ 有 $f(t) \equiv 0$，始终满足
  $\forall \sigma \in R, \lim_{t \to -\infty} f(t) e^{-\sigma t} = 0$
  因此只需要考虑趋于正无穷的情况；
  当 $t \ge t_0$ 时，假设 $\sigma_0$ 使得 $f(t)e^{-\sigma t}$ 绝对收敛。令 $\sigma_1 > \sigma_0$，由于 $e^{-\sigma_1 t}$ 的收敛速度$(t\to +\infty)$比 $e^{-\sigma_0 t}$ 更快，所以 $\sigma_1 > \sigma_0$ 也能使得 $f(t)e^{-\sigma t}$
• 左边信号
  左边信号的收敛域往往包含复平面的左半边，证明过程也是类似的。
  当 $t \le t_0$ 时，假设 $\sigma_0$ 使得 $f(t)e^{-\sigma t}$ 绝对收敛。令 $\sigma_2 < \sigma_0$，由于 $e^{-\sigma_2 t}$ 的收敛速度$(t\to -\infty)$比 $e^{-\sigma_0 t}$ 更快，所以 $\sigma_2 < \sigma_0$ 也能使得 $f(t)e^{-\sigma t}$
• 双边信号
  双边信号的收敛域为带状或不存在。
  双边信号可以分解为左边信号和右边信号，当且仅当左边信号和右边信号的收敛域存在交集时，双边信号才存在拉氏变换。
• 时限信号
  实现信号的收敛域为整个复平面。对于时限信号，有
  $\lim_{t \to \pm \infty} f(t) = 0$
  所以有
  $\forall \sigma \in R, \lim_{t \to \pm \infty} f(t) e^{-\sigma t}= 0$
  典型的时限信号有：$\delta(t)$，$G_{\tau}(t)$

1.1.3. 拉氏变换与傅氏变换的关系

根据收敛域分为 3 种情况：

• 收敛域包含虚轴
  拉氏变换与傅氏变换满足：$F(jw) = F(s)|_{s=jw}$
• 收敛域以虚轴为界
  拉氏变换与傅氏变换无明显关系 $F(jw) \not = F(s)|_{s=jw}$，例如 $u(t)$ 的拉氏变换为 $\frac{1}{s}$，其傅氏变换为 $\frac{1}{jw} + \pi \delta(w)$。
• 收敛域不包含虚轴
  只存在的拉氏变换，不存在傅氏变换。

1.2. 性质

1.2.1. 线性

$\mathscr{L}[af_1(t) + bf_2(t)] = aF_1(s) + bF_2(s)$

1.2.2. 时移

$\mathscr{L}[f(t)u(t)] = F(s),\\\mathscr{L}[f(t-t_0)u(t-t_0)] = F(s)e^{-st_0}$

1.2.3. 复频移

$\mathscr{L}[f(t)e^{s_0t}] = F(s-s_0)$

1.2.4. 尺度变换

$\mathscr{L}[f(at)] = \frac{1}{a}F(\frac{s}{a}),\ a > 0$

1.2.5. 时域微分特性

$$\mathscr{L}[\displaystyle\frac{d f(t)}{dt}] = sF(s) - f(0^-),\ \mathscr{L}[\displaystyle\frac{d^2 f(t)}{dt^2}] = s^2F(s) - sf(0^-) - sf’(0^-)\$$

1.2.6. $s$

$\mathscr{L}[(-t)f(t)] = \frac{dF(s)}{ds}$

1.2.7. 时域积分特性

$\mathscr{L}\left[\int_{-\infty}^{t} f(\tau) d\tau \right] = \frac{F(s)}{s} + \frac{f^{-1}(0)}{s}$

1.2.8. $s$

$\mathscr{L}\left[\frac{f(t)}{t}\right] = \int_{s}^{+\infty} F(s_1) ds_1$

1.2.9. 时域卷积定理

$\mathscr{L}[f(t)*g(t)] = F(s)G(s)$

1.2.10. 初值定理

$\displaystyle\lim_{s \to +\infty}s\cdot F(s) = f(0^+)$

初值定理要求：

1. $f(t)$
2. 不包含任何阶次的冲激函数；
3. $F(s)$

1.2.11. 终值定理

$\displaystyle\lim_{s \to 0} s \cdot F(s) = f(+\infty)$

终值定理要求： $x(t)$ 的终值存在，即 $X(s)$ 的极点在左半 $s$

1.3. 常见的拉氏变换对

1.3.1. 直流或正幂项

• 冲激信号
  $\mathscr{L}[\delta(t)] = 1,\ \sigma \in R$
• 冲激偶信号
  $\mathscr{L}[\delta$

1.3.2. 单根极点

• 阶跃信号
  $\mathscr{L}[u(t)] = \frac{1}{s},\ \sigma > 0$
• 单边指数信号
  $\mathscr{L}[e^{at}u(t)] = \frac{1}{s-a},\ \sigma>a,\\\mathscr{L}[e^{at}u(-t)] = -\frac{1}{s-a},\ \sigma<a$
• 双边指数信号
  $\mathscr{L}[e^{-a\|t\|}] = \frac{2a}{a^2-s^2},\ \sigma\in(-a,a)$

1.3.3. 共轭复根极点

• 正弦信号
  $\displaystyle\mathscr{L}[\sin(w_0 t)u(t)] = \frac{w_0}{s^2 + w_0^2},\ \sigma > 0$
• 余弦信号
  $\displaystyle\mathscr{L}[\cos(w_0 t)u(t)] = \frac{s}{s^2 + w_0^2},\ \sigma > 0$
• 正弦衰减信号
  $\displaystyle\mathscr{L}[e^{at}\sin(w_0 t)u(t)] = \frac{w_0}{(s-a)^2 + w_0^2},\ \sigma > a$
• 余弦衰减信号
  $\displaystyle\mathscr{L}[e^{at}\cos(w_0 t)u(t)] = \frac{s-a}{(s-a)^2 + w_0^2},\ \sigma > a$

1.3.4. 重根极点

• 斜变信号
  $\displaystyle\mathscr{L}[tu(t)] = \frac{1}{s^2},\ \sigma > 0$
• 高阶斜变信号
  $\displaystyle\mathscr{L}\left[\frac{t^n}{n!} u(t)\right] = \frac{1}{s^{n+1}},\ \sigma > 0$
• 斜变衰减信号
  $\displaystyle\mathscr{L}\left[\frac{t^n}{n!} e^{at} u(t)\right] = \frac{1}{(s-a)^{n+1}},\ \sigma > a$

1.3.5. 周期极点

• 周期冲激信号
  $\displaystyle\mathscr{L}\left[\sum_{n=0}^{+\infty}\delta(t - nT)\right] = \frac{1}{1 - e^{-sT}},\ \sigma \not = 0$

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对于有理分式，求解拉氏逆变换最常用的方式是部分分式分解法。一个有理分式可以表示为
$H(s) = \frac{B(s)}{A(s)} = \frac{\displaystyle\sum_{n=0}^{N} b_n s^n}{\displaystyle\sum_{m=0}^{M} a_m s^m}$

部分分式分解建立在极点分解的基础。极点即是分母 $A(s)$

$H(s) = \sum_{i} \frac{A_i}{s-p_i} + \sum_{j} \frac{B_j s + C_j}{(s+\alpha_j)^2 + \beta_j^2} + \sum_{m} \sum_{r=1}^{k} \frac{D_r}{(s-p_m)^r}$

其中，

• $p_i$
• $\alpha_j \pm j \beta_j$
• $p_m$ 是 $k$
• 若有理分式为假分式，则可能存在直流项或正幂次项，对应的是冲激信号或高阶冲激信号。

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