- 【总目录】
- (1) 简介 Intro
- (2) 傅里叶 Fourier
- 常用函数的傅里叶变换汇总
- (3) LTI 系统 与 滤波器
- 二次抑制载波振幅调制接收系统 Python
- (4) 取样 Sampling
- (5) 离散傅里叶 Discrete Fourier
- (6) 拉普拉斯变换 Laplace Transform
文章目录
- 6. 拉普拉斯变换
- 6.1. 拉普拉斯变换 Laplace Transform
- 6.1.1 双边拉普拉斯变换的定义
- 6.1.2 收敛域
- 6.1.3 单边拉氏变换的定义
- 6.1.4 单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
- 6.1.5 常见信号的拉普拉斯变换
- 6.2. 拉普拉斯变换的性质
- 6.2.1 线性性质
- 6.2.2 尺度变换
- 6.2.3 时移性质
- 6.2.4. 复频移特性
- 6.2.5. 时域微分特性
- 6.2.6. 时域积分特性
- 6.2.7. 复频域微分和积分
- 6.2.8. 时域卷积定理
- 6.2.9. 复频域卷积定理
- 6.2.10. 初值 终值 定理
- 6.3. 拉普拉斯反变换
- 6.3.1. 拉普拉斯反变换
- 6.3.2. 部分分式展开法
6. 拉普拉斯变换
6.1. 拉普拉斯变换 Laplace Transform
6.1.1 双边拉普拉斯变换的定义
- 有些函数不满足绝对可积条件,求解傅里叶变换困难。为此,可用一衰减因 ( 为实常数)乘信号 , 适当选取 , 使乘积信号 当 时 信号幅度趋近于 , 从而使 的傅里叶变换存在。
- 相应的傅里叶逆变换为:
- 令 有:
- 称为 的双边拉氏变换(或象函数),
- 称为 的双边拉氏逆变换(或原函数)
6.1.2 收敛域
只有选择适当的 值才能使积分收敛,信号
- 收敛域:使 拉氏变换存在的
- 例1: 因果信号 , 求其拉普拉斯变换:
- 可见,对于因果信号,仅当
- 例2: 反因果信号 , 求其拉普拉斯变换:
- 可见,对于反因果信号,仅当 时,其拉氏变换存在。收敛域如图所示。
- 例3: 双边信号
- 仅当 其收敛域为 的一个带状区域,如图所示。
- 双边拉氏变换必须标出收敛域。
- 对于双边拉普拉斯变换而言, 和收敛域一起,可以唯一地确定 。即
- 不同的信号可以有相同的
6.1.3 单边拉氏变换的定义
- 通常遇到的信号都有初始时刻,不妨设其初始时刻为坐标原点。
- 这样, 时, 。 从而拉氏变换式写为:
- 称为单边拉氏变换。 简称拉氏变换。
- 其收敛域一定是
6.1.4 单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
- 要讨论其关系,
- 根据收敛坐标
- ,即 的收敛域包含 轴,则 的傅里叶变换存在,并且
- 如
- 则
- ,即 的收敛边界为 轴,则
- 如
- 则
- ,即
- 如
- 则其傅里叶变换
6.1.5 常见信号的拉普拉斯变换
- 周期信号 解释:
令 :
6.2. 拉普拉斯变换的性质
6.2.1 线性性质
- 若
6.2.2 尺度变换
- 若
6.2.3 时移性质
- 若
- 若 为 因果信号,
6.2.4. 复频移特性
- 若
6.2.5. 时域微分特性
- 若
- 若为 因果信号,则
6.2.6. 时域积分特性
- 若
- 若为 因果信号,则
6.2.7. 复频域微分和积分
- 若
6.2.8. 时域卷积定理
- 若 因果函数:
6.2.9. 复频域卷积定理
- 若 因果函数:
6.2.10. 初值 终值 定理
初值定理和终值定理常用于由 直接求 和 ,而不必求出原函数 。
- 初值定理:
- 设函数 不含 及其各阶导数(即 为真分式,若 为假分式化为真分式),则:
- 终值定理:
- 若 ,当 时存在, 并且 , , , 则:
6.3. 拉普拉斯反变换
正变换
反(逆)变换
f(t) 时间空间
F(s) 复频空间
6.3.1. 拉普拉斯反变换
- 直接利用定义式求反变换—复变函数积分,比较困难。
- 通常的方法:
- 查表;
- 利用性质;
- 部分分式展开 --结合。
- 若象函数 是 的有理分式, 可写为:
- 若,可用多项式除法将象函数 分解为
- 的拉普拉斯逆变换由冲激函数及其各阶导数构成。
- 例:
- 下面主要讨论有理真分式。
6.3.2. 部分分式展开法
- 若 是 的实系数有理真分式,则
- 式中 称为 的 特征多项式 (characteristic polynomial),方程 称为 特征方程,它的根称为 特征根,也称为 的 固有频率(或自然频率)。个特征根 称为 的 极点
- 为单极点(单根)
- 特例 包含共轭复根时 ():
- 若 在 处有 重根,
To TOP 至目录