透视投影矩阵(所有都是右乘列向量)

投影矩阵简单版(从某视频里看到的)：


f为投影焦距。

以下是unity的透视投影矩阵：


解释一下各个变量，结合下图理解：


Fov：是unity摄像机上的一个属性，Field of View。表示摄像机的张开角度。

Far：unity摄像机上的一个属性。表示近裁剪切面和摄像机的距离。

Near：unity摄像机上的一个属性。表示远裁剪切面和摄像机的距离。

Ascept：Ascept = nearClipPlaneWidth / nearClipPlaneHeight

而 nearClipPlaneHeight  = 2 * Near * tan(Fov / 2)   这是指近裁剪平面的高度。

nearClipPlaneWidth  可通过camera.aspect来算(w/h)。其实就是直接去camera.aspect这个属性。

以下是乘了一组向量以后的：


判断一个顶点是否在裁剪空间内，就判断x、y、z三个分量是否满足以下不等式，一个不满足就说明要被剔除。

-w <= x <= w
-w <= x <= w
-w <= x <= w

正交投影矩阵


解释，同样结合下图：


Near和Far和上面的透视投影一样，Size是摄像机上的一个属性，所以farClipPlaneHeight = 2 * Size;

aspect还是通过camera.aspect获取。

以下是和一组向量相乘后的结果：


判断是否裁剪，和透视投影矩阵一样。

屏幕空间

通过投影矩阵变换、裁剪操作，接下来就是投影到屏幕了。

经过透视投影变换后的裁剪控件，经过齐次除法后会变换到一个立方体内，就是用齐次坐标系的w分量去除以x、y、z分量(书上说的，我觉得应该是各个分量除以w，不然要是有一个分量是0的话不就炸了嘛。。。)。这样可以使齐次坐标标准化，即w = 1。

然后通过公式算出屏幕的x、y坐标：

ScreenX = (x * pixelWidth) / (2 * w) + pixelWidth / 2
ScreenY = (x * pixelHeight) / (2 * w) + pixelHeight/ 2

z分量会被用于深度缓冲。

法线变换

首先，法线是垂直于切线的，变换后的切线可以使用原来顶点变换的变换矩阵得到。

但是，对于法线来说，用原来的顶点变换矩阵可能会使原来的法线不一定垂直于切线(比如说非统一缩放)。

假设已知切线Ta、法线Na他们相互垂直，因此，Ta · Na = 0；已知变换矩阵Mab，变换后的法线Tb = MabTa，求一个矩阵G变换法线Na，使变换后的法线任然与Tb垂直。

Tb·Nb = (MabTa) ·(GNa) = 0
(MabTa) ·(GNa) = (MabTa)T(GNa) = TaTMabTGNa= TaT(MabTG)Na = 0

因为Ta · Na = 0，所以如果MabTG = I，那么上面等式成立。所以G = (MabT)-1 = (Mab-1)T，G就是顶点变换矩阵的转置的逆。

如果变换矩阵是正交矩阵，那么我们可以直接使用变换顶点的变换矩阵来得到变换后的法线。