【离散数学】第八章 图

8.1 图的基本概念

定义8.1 一个图包含两个部分：顶点和边。一般地，图用$G = (V,E)$来表示，其中$V$是非空有限顶点集，$E$是边集，$E$中每条边都是$V$中某一对顶点之间的连接。当顶点分别是$u,v$时，连接两个顶点的边可以表示为一二元组$(u,v)$或$<u,v>$，有时也将边称作顶点的有序对。

图$G= (V,E)$中，顶点总数：$|V|$，边的总数：$E$。

若图中的边数较少(相对于顶点)，则图称为稀疏图；反之，称为密集图或者稠密图。

仅有一个顶点的图叫做平凡图；一条边也没有的图叫做零图。

图中的边限定方向时，有方向的边称作有向边或者弧；无方向的边称作无向边；组成有向边的二元组是有序的。

有向边的起始点叫起点或者弧尾，终止点叫做终点或者弧头。

图中的顶点可以有从自身到自身的边。

图中的边均是有向边的图叫做有向图；

图中的边均是无向边的图叫做无向图；

既有有向边又有无向边，则可将无向边看作双向的有向边，从而看作是有向图。

图中两个顶点间多于1条的边称为多重边或者平行边，边数称为边的重数。

含多重边的他称作多重图，不含多重边和环的图称作简单图。

顶点到自身的边称作(自)环。

图$G=<V,E>$中，若$|V|=n$，则称为$n$阶图。若$E=\emptyset$则称为$n$阶零图。

定义8.2 设无向图$G=<V,E>$，顶点$v(v \in V)$关联的边数称作该顶点的度数，简称度，记作$deg(v)$。

其中，$|deg(v)|=0$的顶点称作孤立点；$|deg(v)|=1$的顶点称作悬挂点。

若顶点$v$有环，则计算$deg(v)$时每个环需要$+2$。

$deg(v)$为奇数时，$v$是奇顶点或者奇点；

$deg(v)$为偶数时，$v$是偶顶点或者偶点。

定理8.1 图$G=<V,E>$中，所有顶点度数总和等于边数的两倍，即$\sum_{v \in V}{deg(v))} = 2 |E|$。

连通、简单图才满足。

书中定义不严谨。

例8.2 一个具有10个顶点而且每个顶点的度均为6的图，共有多少条边？

解：所有顶点度数之和=10x6=60 = 2|E|；所以|E|=30。

定理8.2 对任意的图$G$，基顶点数量必为偶数个。

连通、简单图才满足。

书中定义不严谨。

定义8.3 设$G=<V,E>$是有向图，以顶点$v$为起点的有向边的个数称为$v$的出度，记作$deg^+(v)$；以顶点$v$为终点的有向边的个数称为$v$的入度，记作$deg^-(v)$。

显然：$deg(v) = deg^+(v) + deg^-(v)$。

定理8.3 在有向图中，所有顶点入度之和等于所有顶点出度之和。

废话！！!

定义8.4 设含$n$个顶点的简单(不含多重边和自环)无向图$G=<V,E>$中，若每个顶点都与其余的$n-1$个顶点邻接(直接可达，一步可达)，则称$G$为n阶无向完全图，记作$K_n$。

定义8.5 设含$n$个顶点的简单(不含多重边和自环)有向图G=<V,E>中，若每个顶点都与其余的$n-1$个顶点邻接(直接可达，一步可达)，则称G为n阶有向完全图。

显然：n阶无向完全图中共有$\frac{n(n-1)}{2}$条边，n阶有向完全图中共有$n(n-1)$条边。

定义8.6 设$G=<V,E>$是$n$阶无向简单(不含多重边和自环)图，以$V$为顶点集，所有属于$K_n$但不属于$G$的边为边集所构成的图，称为$G$相对于$K_n$的补图，简称为$G$的补图，记作$\tilde G$。

例如:

中$G_1$与$G_2$互为补图。

定义8.7 对于无向图$G=<V,E>$，记：

$\Delta(G)=max\{deg(v) | v \in V\}$ ##所有顶点中度数最大的顶点的度数

$\delta(G) = min\{deg(v) | v \in V\}$ ##所有顶点中度数最小的顶点的度数

称$\Delta(G)$为图G的最大度，称$\delta(G)$为图G的最小度。

定义8.8 在无向图$G=<V,E>$中，如果每个顶点的度都是$k$，则图G称为k-正则图。

前面例子中的G_1和G_2都是2-正则图。

定义8.9 设图$G=<V,E>$，如果有图$G' = <V',E'>$且E$' \subseteq E,V' \subseteq V$，则称$G'$是$G$的子图。

若$G$的子图包含$G$的所有顶点，即$E' \subseteq E, V' = V$，则称G'是G的生成子图。

例8.4 分析下图的子图和生成子图关系。

解：

$G$

$G_1$

$G_2$

$G_3$

$G_4$

$G_5$

子图

生成子图

子图

生成子图

子图

生成子图

子图

生成子图

子图

生成子图

子图

生成子图

$G$

$\surd$

$\surd$

$\surd$

$\surd$

$G_1$

$\surd$

$\surd$

$\surd$

$\surd$

$G_2$

$\surd$

$\surd$

$\surd$

$\surd$

$\surd$

$\surd$

$G_3$

$\surd$

$\surd$

$\surd$

$\surd$

$G_4$

$\surd$

$\surd$

$\surd$

$\surd$

$\surd$

$\surd$

$\surd$

$\surd$

$G_5$

$\surd$

$\surd$

定义8.10 设图$G_1 = <V_1,E_1>$和图$G_2 = <V_2,E_2>$，若存在一一对应的映射f$:V_1 \rightarrow V_2$，使得$\forall v_i,v_j \in V_1且(v_i,v_j) \in E_1$；当且仅当$(f(v_i),f(v_j)) \in E_2$，并且$(v_i,v_j)与(f(v_i),f(v_j))$的重数相同，则称$G_1与G_2$是同构的，记作$G_1 \cong G_2$。

顶点和边分别一一对应，且边的重数一致。

定义8.11 图$G = <V,E>$，若$G \cong \tilde{G}$，则称图G为自补图。

8.2 图的连通性

定义8.12 给定图$G=<V,E>$，$G$中顶点与边的交替序列$\Gamma = v_{i_0} e_{j_1} v_{i_1} e_{j_2} v_{i_2} ... e_{j_n} v_{j_n}$称为连接$v_{i_0}$到$v_{i_n}$的通路；其中，$e_{j_r} = (v_{i_{r-1}},v_{i_r}), i=1,2,...,n$。

$v_{i_0}$和$v_{i_n}$分别是$\Gamma$的起点和终点，$\Gamma$中 边的数量$n$称作通路的长度。当$v_{i_0} = v_{i_n}$时，$\Gamma$称回路。

若$\Gamma$中的所有边都不相同，则称为简单通路；

若简单通路的起点和终点相同则称为简单回路。

若$\Gamma$中的所有顶点都不相同（起点与终点除外），则称为初级通路；

若起点和终点相同，其他顶点均不相同则称为初级回路。

定理8.4 若无向图G=<V，E>中每个顶点的度数至少为2，则G中包含一条初级回路。

定义8.13 无向图G中，顶点u和v之间若存在通路，则称顶点u和v是连通的；若图中任意两个顶点都是连通的，则称为连通图；否则，称作不连通图。

没有孤立点。连通图隐含无向图。

定理8.5 设$G=<V,E>$，$|V|=n$若从$u到v(v \ne u)$存在通路，则从u到v必存在长度小于或等于$n-1$的一条通路。

等于没说，这也算定理 ？很容易看出来的吧

推论8.1 在一个n阶图中，若从顶点$u到v(v \ne u)$存在通路，则从u到v存在长度小于或等于n-1的初级通路（顶点不能相同）。

一个意思吧。

定义8.14 有向图中任意两个顶点都相互可达的图称为强连通图；否则，称为弱连通图。（暗指有向图）

连通图暗指无向图：任意两个顶点相互可达

强/弱连通图暗指有向图：任意两个顶点相互可达

定义8.15 无向图$G=<V,E>$为连通图，若某一顶点及该顶点相关联的边删除后，无向图不再是连通图，则称该顶点为割点。

定义8.16 无向图$G=<V,E>$为连通图，若有点集$V_1 \subset V$：

①当删除V_1及其所有相关边后图G不再连通；

②而且删除V_1的任何真子集V_2及其所有边，图G仍连通；

则称V_1是G的一个割点集。

定义8.17 无向连通图$G=<V,E>$，任意$e \in E$，若删除e后G不再连通，则称e是割边，也叫桥。

定义8.18 无向图$G=<V,E>$，若存在边集$E' \subset E$：

①当删除$E'$中的所有边后$G$不再连通；

②而且不全部删除$E'$中的所有边后$G$仍连通；

则称$E'$为G的一个割边集。

8.3 图的表示

定义8.19 设图$G=<V,E>, V=\{v_1,v_2,...,v_n\}$，则n阶方阵$M = (a_{ij})$称为$G$的邻接矩阵。其中，$a_{ij}$为图G中从$v_i$到$v_j$的边的数目。

简单图的邻接矩阵是布尔矩阵，因为无多重边和环，所以$a_{ij}$只能是或者1。

定理8.6 设M是n个顶点的简单图G的邻接矩阵，$M^k = (m^k_{ij})$是$M的k$次幂，则在$M^k$中的$m^k_{ij}$代表顶点$v_i$和$v_j$间长度为k的通路数量。

$m^k_{ij} = M^k[i][j]$

$M^2 = M \times M, M^k = M^{k-1} \times M \ \ \ \ \ \ \ (k \gt 1)$

$M \times M$是矩阵乘法。

对于矩阵乘法运算规则不了解的，可以翻翻看我的博客有关于矩阵乘法的介绍。

例8.8 下图所示的图中顶点a到d之间长度为3的路径有几条？

解：①先写出上图的邻接矩阵M

$M = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ \end{matrix} \right] \tag{1}$

②计算$M^2$和$M^3$

$M^2 = M \times M = \left[ \begin{matrix} (0\times0)+(1\times1)+(0\times0)+(1\times1)+(1\times1)+(0\times0) & (0\times1)+(1\times0)+(0\times1)+(1\times0)+(1\times1)+(0\times1) & (0\times0)+(1\times1)+(0\times0)+(1\times1)+(1\times0)+(0\times1) & (0\times1)+(1\times0)+(0\times1)+(1\times0)+(1\times1)+(0\times0) & (0\times1)+(1\times1)+(0\times0)+(1\times1)+(1\times0)+(0\times1) & (0\times0)+(1\times1)+(0\times1)+(1\times0)+(1\times1)+(0\times0)\\ (1\times0)+(0\times1)+(1\times0)+(0\times1)+(1\times1)+(1\times0) & (1\times1)+(0\times0)+(1\times1)+(0\times0)+(1\times1)+(1\times1) & (1\times0)+(0\times1)+(1\times0)+(0\times1)+(1\times0)+(1\times1) & (1\times1)+(0\times0)+(1\times1)+(0\times0)+(1\times1)+(1\times0) & (1\times1)+(0\times1)+(1\times0)+(0\times1)+(1\times0)+(1\times1) & (1\times0)+(0\times1)+(1\times1)+(0\times0)+(1\times1)+(1\times0)\\ (0\times0)+(1\times1)+(0\times0)+(1\times1)+(0\times1)+(1\times0) & ? & ? & ? & ? & ?\\ (1\times0)+(0\times1)+(1\times0)+(0\times1)+(1\times1)+(0\times0) & ? & ? & ? & ? & ?\\ (1\times0)+(1\times1)+(0\times0)+(1\times1)+(0\times1)+(1\times0) & ? & ? & ? & ? & ?\\ (0\times0)+(1\times1)+(1\times0)+(0\times1)+(1\times1)+(0\times0) & ? & ? & ? & ? & ?\\ \end{matrix} \right] \tag{2}$

$M^2 = M \times M = \left[ \begin{matrix} 3 & 1 & 2 & 1 & 2 & 2\\ 1 & 4 & 1 & 3 & 2 & 2\\ 2 & 1 & 3 & 0 & 3 & 1\\ 1 & 3 & 0 & 3 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 3 & 1 & 4 & 1\\ 2 & 2 & 1 & 2 & 1 & 3\\ \end{matrix} \right] \tag{3}$

$M^3 = M^2 \times M = \left[ \begin{matrix} 4 & 9 & 4 & 7 & 7 & 5\\ 9 & 6 & 9 & 4 & 10 & 7\\ 4 & 9 & 2 & 8 & 4 & 7\\ 7 & 4 & 8 & 2 & 9 & 4\\ 7 & 10 & 4 & 9 & 6 & 9\\ 5 & 7 & 7 & 4 & 9 & 4\\ \end{matrix} \right] \tag{4}$

③a到d之间长度为3的路径条数就是：$M^3[a][d] = M^3[0][3] = 7$

定义8.20 设G是含有n个顶点的无多重边的图(可能有自环)，定义$n$阶方阵$P(G)=P_{ij}$为路径矩阵，其中：

$P_{ij} = \left\{ \begin{array}{} 1 \ \ \ \ \ \ \ ,v_i到v_j之间至少有一条通路\\ 0 \ \ \ \ \ \ \ ,v_i到v_j之间没有通路\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \end{array} \right.$

路径矩阵又叫可达性矩阵。（可体现顶点上的回路）

一般来说，可有图G的邻接矩阵A得到可达性矩阵，方法是$B_n = A + A^2 + ... + A^n$，再从$B_n$中仅将不为0的元素改为1即可。

例8.9 如下图所示的图$G$，求可达性矩阵$P(G)$

解：①先写出上图的邻接矩阵M

$M = \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 0\\ \end{matrix} \right] \tag{1}$

②计算$M^2、M^3$和$M^4$（因为一共有4个顶点）

$M^2 = M \times M = \left[ \begin{matrix} 2 & 2 & 0 & 0\\ 2 & 2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 2 & 2\\ \end{matrix} \right] \tag{2}$

$M^3 = M^2 \times M = \left[ \begin{matrix} 0 & 0 & 4 & 4\\ 0 & 0 & 4 & 4\\ 4 & 4 & 0 & 0\\ 4 & 4 & 0 & 0\\ \end{matrix} \right] \tag{3}$

$M^4 = M^3 \times M = \left[ \begin{matrix} 8 & 8 & 0 & 0\\ 8 & 8 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 8 & 8\\ 0 & 0 & 8 & 8\\ \end{matrix} \right] \tag{4}$

③计算$B_4$

$B_4 = M + M^2 + M^3 + M^4 = \left[ \begin{matrix} 10 & 10 & 5 & 5\\ 10 & 10 & 5 & 5\\ 5 & 5 & 10 & 10\\ 5 & 5 & 10 & 10\\ \end{matrix} \right] \tag{5}$

④将$B_4$中的非0元素全部改成1得到可达性矩阵$P(G)$

$P(G) = \left[ \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1\\ \end{matrix} \right] \tag{6}$

51的公式支持真的有问题！！！