命题:称能判断真假的陈述句为命题。

命题公式:若在复合命题中,p、q、r等不仅可以代表命题常项,还可以代表命题变项,这样的复合命题形式称为命题公式。

命题的赋值:设A为一命题公式,p ,p ,…,p 为出现在A中的所有命题变项。给p ,p ,…,p 指定一组真值,称为对A的一个赋值或解释。若指定的一组值使A的值为真,则称成真赋值。

真值表:含n(n≥1)个命题变项的命题公式,共有2^n组赋值。将命题公式A在所有赋值下的取值情况列成表,称为A的真值表。

命题公式的类型:(1)若A在它的各种赋值下均取值为真,则称A为重言式或永真式。

(2)若A在它的赋值下取值均为假,则称A为矛盾式或永假式。

(3)若A至少存在一组赋值是成真赋值,则A是可满足式。

主析取范式:设命题公式A中含n个命题变项,如果A得析取范式中的简单合取式全是极小项,则称该析取范式为A的主析取范式。

主合取范式:设命题公式A中含n个命题变项,如果A得析取范式中的简单合析式全是极大项,则称该析取范式为A的主析取范式。

命题的等值式:设A、B为两命题公式,若等价式A↔B是重言式,则称A与B是等值的,记作A<=>B。

约束变元和自由变元:在合式公式"A和 $A中,称x为指导变项,称A为相应量词的辖域,x称为约束变元,x的出现称为约束出现,A中其他出现称为自由出现(自由变元)。

一阶逻辑等值式:设A,B是一阶逻辑中任意的两公式,若A↔B为逻辑有效式,则称A与B是等值的,记作A<=>B,称A<=>B为等值式。

前束范式:设A为一谓词公式,若A具有如下形式Q1x1Q2x2Qk…xkB,称A为前束范式。

集合的基本运算:并、 交、差、相对补和对称差运算。

笛卡尔积:设A和B为集合,用A中元素为第一元素,用B中元素为第二元素构成有序对组成的集合称为A和B的笛卡尔积,记为A×B。

二元关系:如果一个集合R为空集或者它的元素都是有序对,则称集合R是一个二元关系。

特殊关系:(1)、空关系:Φ (2)全域关系:EA={<x, y> | x∈A ∧ y∈A }= A×A

(3)恒等关系:IA={<x, x> | x∈A}

(4)小于等于关系:LA={<x, y>| x, y∈A∧x≤y∈A },A Í R

(5)整除关系: RÍ ={<x, y>| x,y∈ψ ∧ x Í y} ,ψ是集合族

二元关系的运算:设R是二元关系,

(1)R中所有有序对的第一元素构成的集合称为R的定义域dom= { x |$y(<x , y>R)}

(2)R中所有有序对的第二元素构成的集合称为R的值域ranR = {|$x(<y>R)}

(3)R的定义域和值域的并集称为R的域fldR= domR ∪ranR

二元关系的性质:自反性,反自反性,对称性,反对称性,传递性。

等价关系:如果集合A上的二元关系R是自反的,对称的和传递的,那么称R是等价关系。设RA上的等价关系,x , yA的任意元素,记作xy

等价类:设RA上的等价关系,对任意的"xA,令[x]R={ y | yA ∧ x R y },称[x]R为x关于R的等价类。

偏序关系:设R是集合A上的二元关系,如果R是自反的,反对称的和传递的,那么称RA上的偏序,记作≤;称序偶< A ,R >为偏序集合。

函数的性质:设fA®B

(1)若ran= B,则称是满射(到上)的。

(2)若 "yÎ ran都存在唯一的x Î使得f(x)=y,则称是单射(— —)的。

(3)若f 既是满射又是单射的,则称f 是双射(— —到上)的。

无向图:是一个有序的二元组<VE>,记作G,其中:

(1) V¹Ф称为顶点集,其元素称为顶点或结点。

(2) E为边集,它是无序积V&V的多重子集,其元素称为无向边,简称边。

有向图:是一个有序的二元组<V,E>,记作D,其中

(1) V同无向图。 (2) E为边集,它是笛卡尔积V´V的多重子集,其元素称为有向边。

设G=<V,E>是一个无向图或有向图。

有限图:若VE是有限集,则称G为有限图。

n阶图:若| V |=n,称G为n阶图。

零图:若| E |=0,称G为零图,当| V |=1时,称G为平凡图。

基图:将有向图变为无向图得到的新图,称为有向图的基图。

图的同构:在用图形表示图时,由于顶点的位置不同,边的形状不同,同一个事物之间的关系可以用不同的图表示,这样的图称为图同构。

带权图:在处理有关图的实际问题时,往往有值的存在,一般这个值成为权值,带权值的图称为带权图或赋权图。

连通图:若无向图是平凡图,或图中任意两个顶点都是连通的,则称G是连通图。否则称为非连通图。设D是一个有向图,如果D的基图是连通图,则称D是弱连通图,若D中任意两个顶点至少一个可达另一个,则称D是单向连通图。若D中任意两个顶点是相互可达的,则称D是强连通图。

欧拉图:通过图中所有边一次且仅一次并且通过所有定点的通路(回路),称为欧拉通路(回路)。存在欧拉回路的图称为欧拉图。

哈密顿图:经过图中每个顶点一次且仅一次的通路(回路),称为哈密顿通路(回路),存在哈密顿回路的图称为哈密顿图。

平面图:一个图G如果能以这样的方式画在平面上:出定点处外没有变交叉出现,则称G为平面图。画出的没有边交叉出现的图称为G的一个平面嵌入。

二部图:若无向图G=〈VE〉的顶点集合V可以划分成两个子集V1和2(V1∩V2 =),使G中的任何一条边的两个端点分别属于V1和V2,则称G为二部图(偶图)。二部图可记为= < V1, V 2 , >, V1和2称为互补顶点子集。

树的定义:连通无回路的无向图称为无向树,简称树,常用T表示树。平凡图称为平凡树。若无向图G至少有两个连通分支,每个连通都是树,则称G为森林。在无向图中,悬挂顶点称为树叶,度数大于或等于2的顶点称为分支点。

树的性质:性质1、设G=<V,E>是n阶m条边的无向图,则下面各命题是等价的:

(1)G是树 (2)G中任意两个顶点之间存在唯一的路径 (3)G中无回路且m=n-1.

(4)G是连通的且m=n-1. (5)G是连通的且G中任何边均为桥。 (6)G中没有回路,但在任何两个不同的顶点之间加一条新边,在所得图中得到唯一的一个含新边的圈。

性质2、设T是n阶非平凡的无向树,则T中至少有两片树叶。

证:设T有x片树叶,由握手定理及性质1可知,2(n-1)=∑d(vi)≥x+2(n-x)由上式解出x≥2.

最小生成树:设T是无向图G的子图并且为树,则称TG的树。若TG的树且为生成子图,则称T是G的生成树。设TG的生成树。e∈E(G),若e∈E(T),则称e为T的树枝,否则称e为T的弦。并称导出子图G[E(G)-E(T)]为T的余树,记作T

最优二元树:设2叉树T有t片树叶v1,v2,…,vt,权分别为w1,w2,…,wt,称W(t)=wil(vi)为T的权,其中l(vi)是vi的层数。在所有有t片树叶,带权w1,w2,…,wt的2叉树中,权最小的2叉树称为最优2叉树。

最佳前缀码:利用Huffman算法求最优2叉树,由最优2叉树产生的前缀码称为最佳前缀码,用最佳前缀码传输对应的各符号能使传输的二进制数位最省。

蕴含式推理

E1

┐┐p<=>P

E12

R∨(P∧┐P)<=>R

E2

P∧Q<=>Q∧P

E13

R ∧(P∨┐P)<=>R

E3

P∨Q<=>Q∨P

E14

R∨(P∨┐P)<=>T

E4

(P∧Q)∧R<=>P∧(Q∧R)

E15

R∧(P∧┐P)<=>F

E5

(P∨Q)∨R<=>P∨(Q∨R)

E16

P→Q<=>┐P∨Q

E6

P∧(Q∨R)<=>(P∧Q)∨(P∧R)

E17

┐(P→Q)<=> P∧┐Q

E7

P∨(Q∧R)<=>(P∨Q)∧(P∨R)

E18

P→Q<=>┐Q→┐P

E8

┐(P∧Q)<=> ┐P∨┐Q

E19

P→(Q→R)<=>(P∧Q)→R

E9

┐(P∨Q)<=> ┐P∧┐Q

E20

PDQ<=>(P→Q)∧(Q→P)

E10

P∨P<=>P

E21

PDQ<=>(P∧Q)∨(┐P∧┐Q)

E11

P∧P<=>P

E22

┐(PDQ) <=> PD┐Q

等值公式表

P∧Q=>P

化简式

P∧Q=>Q

化简式

P=>P∨Q

附加式

┐P=>P→Q

变形附加式

Q=>P→Q

变形附加式

┐(P→Q)=>P

变形简化式

┐(P→Q)=>┐Q

变形简化式

p∧(P→Q)=>Q

假言推论

┐Q∧(P→Q)=>┐P

拒取式

┐p∧(P∨Q)=>Q

析取三段式

(P→Q) ∧(Q→R)=>P→R

条件三段式

(PDQ) ∧(QDR)=>PDR

双条件三段式

(P→Q)∧(R→S)∧(P∧R)=>Q→S

合取构造二难

(P→Q)∧(R→S)∧(P∨R)=>Q∨S

析取构造二难

P→Q=>(P∨R) →(Q∨R)

前后附加式

P→Q=>(P∧R) →(Q∧R)

前后附加式

E23

( x)((Ax)∨(Bx))<=>( x)(Ax)∨( x)(Bx)

E30

( x)(Ax) →B<=>( x) ((Ax)→B)

E24

( x)((Ax)∧(Bx))<=>( x)(Ax)∧( x)(Bx)

E31

( x)(Ax) →B<=>( x) ((Ax)→B)

E25

┐( x)(Ax)<=>( x)┐(Ax)

E32

A→( x)(Bx) <=>( x) (A→(Bx))

E26

┐( x)(Ax)<=>( x)┐(Ax)

E33

A→( x)(Bx) <=>( x) (A→(Bx))

E27

( x)(A∨(Bx))<=>A∨( x)(Bx)

I17

( x)(Ax)∨( x)(Bx) =>( x)((Ax)∨(Bx))

E28

( x)(A∧(Bx))<=>A∧( x)(Bx)

I18

( x)((Ax)∧(Bx)) =>( x)(Ax)∧( x)(Bx)

E29

( x)((Ax)→(Bx))<=>( x)(Ax)→( x)(Bx)

I19

( x)(Ax)→( x)(Bx) =>( x)((Ax)→(Bx))

 

 

集合恒等式:

幂等律:A∪A=A ;A∩A=A

结合律:(A∪B)∪C=A∪(B∪C) ;(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

交换律:A∪B=B∪A ;A∩B=B∩A

分配律:A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) ;A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)

同一律:A∪f =A ;A∩E=A

零  律:A∪E =A ;A∩f

排中律:A∪~A=E

矛盾律:A∩~A =f

吸收律:A∩(A∪B)=A;A∪ (A∩B)=A

德摩根定律:A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C);A-(B∩C)=(A-B)∪(A-C)

                     ~(B∪C)= ~B∩~C;~(B∩C)= ~B∪~C;~f=E;~E=f

双重否定律:~(~A)=A

二元关系的运算:

设F,G,H是任意的关系,

(1)(-¹) -¹= F                   (2)dom(-¹)=ran;ran (-¹)=domF

(3)( F ◦ G ) ◦ H = F ◦(G ◦ H ) (4)( F ◦ G ) - ¹ =G -¹ ◦ F -¹

RA上的关系(幂运算)

(1)Rº = {<x,x>| x∈A}   (2)^n = ^(n-1) ◦ R,n≥1  (3) Rº = Rº ◦ R = R

图的矩阵表示:

(1)无向图的关联矩阵:设无向图G=<V,E>, V={v1,v2,…,vn}, E={e1,e2,…,em},令mij为顶点vi与边的关联次数,则称( mij )n´ m为G的关联矩阵。记为M(G)。

(2)有向图的关联矩阵:设无向图D=<V,E>, V={v1,v2,…,vn}, E={e1,e2,…,em},

                                        1,   vi是ej的始点

               mij =                 0,   vi与ej不关联

                                        -1,vi是ej的终点

          则称( mij )n´ m为D的关联矩阵。记为M(D) 。