[简单DP]LP钱不够(数塔问题)

★★★LP钱不够

吃货LP参加了珠海美食节，每见一家摊位都会大吃一顿，但是如果不加收敛，接下来的日子就只能吃土了，所以，他决定只向前，不回头，花最少的钱，在美食节上吃出一条血路。在美食节的矩形地图中，LP站在左上角的入口，请帮助Ta到达右下角的出口。

输入描述:

第一行包含一个正整数T(T<=10)，表示有T组测试数据。
每组数据第一行包含一个正整数n(3 <= n<=20）。
给定一个n*n矩阵图，从左上角开始每次只能向右或者向下走，最后到达右下角的位置，路径上所有的数字累加起来就是花费和，返回所有路径中最小的花费和。
无摊位时花费为0，不会有负花费。

输出描述:

对于每一组数据，有一行输出，返回最小花费，最后输出无换行。

示例1

输入

1
5
25 81 51 98 43 
19 10 36 81 91 
95 38 7 84 40 
87 27 72 9 30 
33 81 68 21 71

输出

270

解答:

#include<iostream>
using namespace std;

int main()
{
  int num[21][21]={0};
  int N,x;
  cin>>N;
  while(N--){
    cin>>x;
    for(int i=1; i<=x; i++)
    {
      for(int j=1; j<=x; j++)
        cin>>num[i][j];
    }
    
    for(int m=x;m>=1;){
      for(int n=x-1;m>=1;){
        for(int i=m,j=n;i>=m,j<=m;i--,j++){ 
            //cout<<"("<<i<<','<<j<<") "; 
            if(i==x){
              num[i][j]+=num[i][j+1];
            }else if(j==x){
              num[i][j]+=num[i+1][j];
            }else{
              num[i][j]+=min(num[i+1][j],num[i][j+1]);//保证每一个子问题的最优解
            } 
        }
        //cout<<"("<<m<<','<<n<<") "; 
        if(n==1){
          m--;
        }else{
          n--;
        }
      }
    }
    cout<<num[1][1]<<endl;  
  }
  return 0;
}

这是一道数塔问题的变种,核心思想是相同的,即运用动态规划的思想,把一个复杂的问题划分成无数个子问题，保证每一个子问题的最优解，通过拆分问题，定义问题状态和状态之间的关系，使得问题能够以递推（或者说分治）的方式去解决.得到全局最优解

此题比起简单的数塔,难在DP的顺序,例如下图矩阵大小为4*4时:

而每一层的起始点循环的方向则是按照红线的顺序(不唯一)

补充:

数塔
在讲述DP算法的时候，一个经典的例子就是数塔问题，它是这样描述的：

有如下所示的数塔，要求从顶层走到底层，若每一步只能走到相邻的结点，则经过的结点的数字之和最大是多少？

已经告诉你了，这是个DP的题目，你能AC吗?
Input
输入数据首先包括一个整数C,表示测试实例的个数，每个测试实例的第一行是一个整数N(1 <= N <= 100)，表示数塔的高度，接下来用N行数字表示数塔，其中第i行有个i个整数，且所有的整数均在区间[0,99]内。
Output
对于每个测试实例，输出可能得到的最大和，每个实例的输出占一行。
Sample Input
1
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
Sample Output
30

#include<iostream>
using namespace std;

int main(){
    int N;
    int a[101][101]={0};
    cin>>N;
    while(N--){
        int n;
        cin>>n;

        for(int i=1;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<=i;j++){
                cin>>a[i][j];
            }
        }
        for(int i=n-1;i>=1;i--){
            for(int j=1;j<=i;j++){
                a[i][j]=max(a[i+1][j],a[i+1][j+1])+a[i][j];
            }
        }
        
        cout<<a[1][1]<<endl;
    }
    return 0;
}