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# C++ 编程之美
C++ 验证一下，你对递归是不是一知半解

C++ 验证一下，你对递归是不是一知半解

公众号：编程驿站 1. 前言 无递归，不算法。无论怎样强调递归的重要性，都不为过。受限于计算机的思维能力，计算机的计算找答案的过程就是在不停试错、纠正错误的过程，类似于爱迪生发明灯炮。递归能帮助我们在不知道计算边界的情形下试错。 多函数求解过程，相当于多人协助完成一件事情，必然会有半成品的相互传递和再加工过程。了解递归的内部细节，对于正确使用递归将有巨大帮助。 2. 递归传值 递归调用过程分递进和

递归
父节点
全局变量
原创 精选 22天前 146 阅读
C++浅谈八皇后问题中数据结构对算法的影响

C++浅谈八皇后问题中数据结构对算法的影响

公众号：编程驿站 1. 引言 编写回溯算法文章时，文章里用到了八皇后案例。文章的初衷是为了讲好回溯算法，体现算法的核心逻辑，没有在案例的子逻辑上费太多心思。导致阅读过文章的粉丝留言说，检查皇后位置是否合法的代码略显冗余。回头再审查时，也觉得言之有理。 现在单独把此案例拿出来讲解，一是自证自己还是可以提供简洁明了的代码。二是试着选择不同的数据结构完成此代码，聊一聊不同数据结构对算法影响有多大。 开始

数据结构
数据
回溯算法
原创 精选 24天前 142 阅读
C++ 圆周率的几种求解方法

C++ 圆周率的几种求解方法

公众号：编程驿站 圆周率的常见几种求解算法，包括但不仅仅包含特卡洛模拟、割圆法和公式法。本文讲解这几种算法的实现流程。 1. 蒙特卡洛模拟算法 假设有一个半径为1的圆，如图所示。先绘制一个半径为1的圆。则图中阴影部分（1/4圆）的面积就等于π/4。 再绘制出一个正方形，可以看出它的面积是 1 。通过这种方式，就能够获取到正方形面积和阴影部分面积的一个比例。如此可得到正方形和阴影面积的比例关系1:

#include
多点
c++
原创 精选 1月前 201 阅读 1点赞
C++离散与组合数学之如何让错排列一步错，步步错！

C++离散与组合数学之如何让错排列一步错，步步错！

公众号：编程驿站 1. 前言 错排列是排列里的特殊数体。本文和大家聊聊错排列的定义以及如何枚举出所有的错排列。现实生活中，错排列的应用也较广泛，研究错排列可以丰富对排列现组合相关知识的认知。 2. 错排列 错排列是组合数学中的一个重要理论分支。了解错排列，先从错排列的概念入手。 概念：理论上，n个有序的元素应有n!种不同的全排列，如果其中有一个排列使得所有的元素不在原来的位置上，则称这个排列为错排

错排
递归
2d
原创 精选 1月前 134 阅读
C++ 离散与组合数学之多重集合

C++ 离散与组合数学之多重集合

C++ 离散与组合数学之多重集合 1. 前言 数论是计算机学科的基础，将以一系列文章讨论组合数学中的一些概念，包括多重集合、等价类、多重集上的排列、错排列、圆排列、鸽巢原理、二项式定理、容斥原理、卡特兰数。 本文主要是讨论集合以及多重集合的概念以及多重集合上的排列问题。集合概念为研究群体事物提供了强有力的理论基础。 2. 集合 在理解集合之前，先理解集合中的元素概念。 元素是为研究对象提供的统一抽

多重集
迭代器
重数
原创 精选 1月前 140 阅读
C++ 离散化算法设计原则：压缩的都是精华

C++ 离散化算法设计原则：压缩的都是精华

公众号：编程驿站 1. 离散化 离散化是离散数学中的概念。离散化算法，指把无限空间中的离散数据映射到一个有限的存储空间中，并且对原数据进行有序索引化。主打压缩的都是精化。 离散化流程： 对离散化数列{235,897,458,7654,458,1234}为例。数列中的数据涉及到的数轴区间从0到7654。诺大的区间中唯有6个数据。相当于仰头看星空，繁星一点一点。遇到这种情况，可以对数列离散化操作。

离散化
数据
c++
原创 精选 2月前 141 阅读
C++ 八数码问题理解 `IDA*` 算法原则：及时止损，缘尽即散

C++ 八数码问题理解 `IDA*` 算法原则：及时止损，缘尽即散

1.前言 八数码是典型的状态搜索案例。如字符串转换问题、密码锁问题都是状态搜索问题。 状态搜索问题指由一种状态转换到到最终状态，求解中间需要经过多少步转换，或者说最小需要转换多少步，或者说有多少种转换方案。本文和大家聊聊八数码问题的IDA*算法解决方案，也是想通过此问题，深入理解IDA*算法的的底层思维逻辑。 2. 八数码问题 问题描述： 八数码问题，也称为拼图问题。指由9块可滑动的方块构成一个3

搜索
二维数组
一维数组
原创 精选 2月前 144 阅读
C++启发式搜索（A*），给你一点阳光，你一定要灿烂哟！

C++启发式搜索（A*），给你一点阳光，你一定要灿烂哟！

公众号：编程驿站 1. 前言 给小孩子出一道数学题，在他不知所措，没有头绪时，你给他点提示。也许这点提示可以让他灵光一现，找到一点光亮，少一些脑回路，快速找到答案。这便是启发的作用。 启发式搜索(Heuristically Search)又称为有信息搜索(Informed Search)，是利用问题拥有的启发信息来引导搜索，达到减少搜索范围、降低问题复杂度的目的，这种利用启发信息的搜索过程称为启发

搜索
最短距离
子节点
原创 精选 2月前 161 阅读
C++ 双向广度搜索，嚯嚯！不就是双指针理念吗

C++ 双向广度搜索，嚯嚯！不就是双指针理念吗

1. 前言 在线性数据结构中搜索时，常使用线性搜索算法，但其性能偏低下，其性能改善方案常有二分搜索和双指针或多指针搜索算法。在复杂的数据结构如树和图中，常规搜索算法是深度和广度搜索。在深度搜索算法过程中常借助剪枝或记忆化方案提升搜索性能。广度搜索算法过程中常见的性能优化方案为双向广度搜索和启发式搜索。双向广度搜索可以认为是图论中的双指针搜索方案，本文将和大家深入探讨其算法细节。 图中常见的操作为最

搜索算法
广度搜索
#include
原创 精选 2月前 129 阅读
不搜索，无问题。冗余、上下界剪枝

不搜索，无问题。冗余、上下界剪枝

公众号：编程驿站 1. 搜索算法 本文和大家聊聊搜索算法，计算机解决问题的抽象流程是，先搜索，或完全搜索后得到答案，或边搜索边找答案。所以，对给定的数据集进行搜索是解决问题的前置条件。不搜索，无问题。 搜索算法无非就是线性、二分、深度、广度搜索算法。其它的搜索算法的底层逻辑也是建立这4 种之上的。如双向广度搜索、启发式搜索……均是对原生搜索算法进行了优化。 计算机是穷举思维，解决任何问题的基本套

搜索
搜索算法
子树
原创 3月前 65 阅读
C++ 图论之树的重心和直径

C++ 图论之树的重心和直径

1. 重心 什么是树的重心？ 物理学而言，重心是指地球对物体中每一微小部分引力的合力作用点，物体受力最集中的那一个点。数学上的重心是指三角形的三条中线的交点。 树的重心也称为质点，有一个很官方的定义：如果在树中选择某个节点并删除，这棵树将分为若干棵子树，统计子树节点数并记录最大值。取遍树上所有节点，使此最大值取到最小的节点被称为整个树的重心。 现根据一个具体树结构解释重心的获取过程。 删除节点1

子树
删除节点
子节点
原创 精选 4月前 441 阅读
C++ 图论算法之欧拉路径、欧拉回路算法的一笔画

C++ 图论算法之欧拉路径、欧拉回路算法的一笔画

1. 欧拉图 本文从哥尼斯堡七桥的故事说起。 哥尼斯堡城有一条横贯全市的普雷格尔河，河中的两个岛与两岸用七座桥连结起来。当时那里的居民热衷于一个话题：怎样不重复地走遍七桥，最后回到出发点。这也是经典的一笔画完问题。 1736年瑞士数学家欧拉（Euler）发表了论文《哥尼斯堡七桥问题》。论文中使用图论理论解决哥尼斯堡七桥问题，欧拉图由此而来。论文中欧拉证明了如下定理：一个非空连通图当且仅当每个顶点的

欧拉回路
欧拉路径
2d
原创 精选 4月前 478 阅读
C++ 从大数据SPARK框架的DAG引擎，再论有向无环图（DAG）的拓扑排序

C++ 从大数据SPARK框架的DAG引擎，再论有向无环图（DAG）的拓扑排序

公众号：编程驿站 更多好文等你来 给大学生讲解SPARK时，说spark相比其它的大数据框架，其运行速度更快，是其显著的特点之一。之所以运行速度快，其原因之一因其使用先进的DAG（Directed Acyclic Graph，有向无环图）执行引擎。SPARK提供了名为RDD(弹性分布式数据集（Resilient Distributed Dataset）的简称)抽象的数据集。DAG引擎用来保证RD

子节点
SPARK
搜索
原创 精选 4月前 160 阅读
C++ 图论之Floyd算法求解次最短路径的感悟，一切都是脱壳后找最值而已

C++ 图论之Floyd算法求解次最短路径的感悟，一切都是脱壳后找最值而已

公众号：编程驿站 1. 前言 抛开基因的影响，学霸和学渣到底是在哪一点上有差异？ 学霸刷完 200 道题，会对题目分类，并总结出解决类型问题的通用模板，我不喜欢模板这个名词，感觉到投机的意味，或许用方法或通用表达式更高级一点。而事实上模板一词更准确。 每一道题目在描述时，会套上一堆场景说词，可以说是契合真正的应用领域，或者说是出题人的故弄玄虚，弄了一些花里胡哨的迷糊你的外表，这时考核的不是专业知识

最小值
一维数组
最短路径
原创 精选 4月前 173 阅读
C++图论之常规最短路径算法的花式玩法（Floyd、Bellman、SPFA、Dijkstra算法合集）

C++图论之常规最短路径算法的花式玩法（Floyd、Bellman、SPFA、Dijkstra算法合集）

1. 前言 权重图中的最短路径有两种，多源最短路径和单源最短路径。多源指任意点之间的最短路径。单源最短路径为求解从某一点出到到任意点之间的最短路径。多源、单源本质是相通的，可统称为图论的最短路径算法，最短路径算法较多： Floyd-Warshall算法。也称为插点法，是一种利用动态规划思想寻找权重图中多源点之间[最短路径的算法，与Dijkstra算法类似。该算法名称以创始人之一、1978年图灵奖

权重
最短路径
动态规划
原创 精选 4月前 243 阅读
C++ 图论之次最小生成树

C++ 图论之次最小生成树

1. 前言 生成树指在无向图中找一棵包含图中的所有节点的树，此树是含有图中所有顶点的无环连通子图。对所有生成树边上的权重求和，权重和最小的树为最小生成树，次小的为次最小生成树。 最小生成树和次最小生成树的应用领域都较广泛。也是图论中优为重要的研究对象，求解算法也是常规必须掌握的算法之一。最小生成树的算法主要是kruskal（克鲁斯卡尔）和Prim算法，求解次最小生成树时也是基于这两种算法，在此之上

最小生成树
权重
父节点
原创 精选 5月前 216 阅读
DFS序和欧拉序的降维打击

DFS序和欧拉序的降维打击

1. DFS 序和时间戳 1.1 DFS 序 定义：树的每一个节点在深度优先遍历中进、出栈的时间序列。 如下树的 dfs 序就是[1,2,8,8,5,5,2,4,3,9,9,3,6,6,4,7,7,1]。 下图为生成DFS的过程。对于一棵树进行DFS序，除了进入当前节点时对此节点进行记录，同时在回溯到当前节点时对其也记录一下，所以DFS序中一个节点的信息会出现两次。 Tips： 因为在树上深度

割点
#include
子树
原创 精选 5月前 307 阅读
深度剖析倍增算法求解最近公共祖先（LCA）的细枝末节

深度剖析倍增算法求解最近公共祖先（LCA）的细枝末节

1. LCA（最近公共祖先） 倍增算法的基本思想在前面的博文中有较详细的介绍，本文不再复述。此文仅讲解如何使用倍增算法求解多叉树中节点之间的最近公共祖先问题。 什么是最近公共祖先问题？ 字面而言，指在树上查询两个（也可以是两个以上）节点的祖先，且是离两个节点最近的祖先。如下图所示： 节点 12和节点11的公共祖先有节点4和节点1。 节点4是离12和11最近的祖先。即12和11的最近公共祖先是4。

最近公共祖先
缓存
bc
原创 精选 5月前 279 阅读
C++ 不知树系列之表达式树

C++ 不知树系列之表达式树

C++ 不知树系列之表达式树 1. 引言 在公众号里，写过与中缀、后缀表达式有关的文章，在文章中详细讲解了中缀表达式如何转换为后缀表达式以及如何求解后缀表达式。但是没有涉及后缀表达式与表达式二叉树的关系，终究感觉到有些不完整，本文力图填补这个遗憾，把后缀表达式相关的内容悉数补充。 在栈的基础上直接求解后缀表达式的过程并不复杂。为何还把后缀表达式转换为二叉树，然后再在树的结构基础上求解，且不是饶了一

后缀表达式
表达式树
二叉树
原创 精选 6月前 193 阅读
C++算法进阶系列之倍增算法 ST 表

C++算法进阶系列之倍增算法 ST 表

1. 引言 前文使用倍增算法实现了快速求幂的运算，本文继续讲解ST表，ST表即倍增表，本质就是动态规划表，记忆化了不同子问题域中的结果，用于实时查询。只是动态规划过程和传统的稍有点不一样，采用了倍增思想。ST表往往用于存储子区间信息，如某区间的最值…… 是不是所有的区间问题都可以使用ST表？ 某个区间查询问题是否适用ST表，在于其进行的操作是否允许区间重叠。如下图所示： 如求 [1,6]区间的最

#include
数组
bc
原创 精选 7月前 605 阅读
C++算法进阶系列之倍增算法解决求幂运算

C++算法进阶系列之倍增算法解决求幂运算

1. 引言 学习倍增算法，先了解什么是倍增以及倍增算法的优势。如果面前有一堆石子，要求计算出石子的总数量。 这是一个简单的数数问题，可以： 一颗石子一颗石子的数。 两颗石子两颗石子的数。 三颗石子三颗石子的数。 或者更多颗石子更多颗石子的数…… 在石子很多的情况下，每一次选择更多石子的方式数，毫无疑问可以快速得到最后的结果，倍增算法便是基于这种数数的理念。 但是，倍增算法不是以固定的数量来数，

倍增算法
快速幂
迭代
原创 精选 7月前 481 阅读
C++动态规划经典案例解析之合并石子

C++动态规划经典案例解析之合并石子

1. 前言 区间类型问题，指求一个数列中某一段区间的值，包括求和、最值等简单或复杂问题。此类问题也适用于动态规划思想。 如前缀和就是极简单的区间问题。如有如下数组： int nums[]={3,1,7,9,12,78,32,5,10,11,21,32,45,22} 现给定区间信息[3,6]，求区间内所有数字相加结果。即求如下图位置数字之和。 Tips： 区间至少包括 2 个属性，起始端和结束端

数组
c++
前缀和
原创 精选 8月前 456 阅读
C++ 动态规划经典案例解析之最长公共子序列（LCS）_窥探递归和动态规划的一致性

C++ 动态规划经典案例解析之最长公共子序列（LCS）_窥探递归和动态规划的一致性

1. 前言 动态规划处理字符相关案例中，求最长公共子序列以及求最短编辑距离，算是经典中的经典案例。 讲解此类问题的算法在网上一抓应用一大把，即便如此，还是忍不住有写此文的想法。毕竟理解、看懂都不算是真正掌握，唯有瞧出其中玄机，能有自己独有的见解和不一样的感悟方算是把知识学到灵魂深入。 好了！闲话少说，进入正题。 2. 最长公共子序列(LCS) 2.1 问题描述 最长公共子序列，指找出 2 个或多个

字符串
公共子序列
递归
原创 精选 8月前 289 阅读
C++动态规划经典试题解析之打家劫舍系列

C++动态规划经典试题解析之打家劫舍系列

1.前言 力扣上有几道与打家劫舍相关的题目，算是学习动态规划时常被提及的经典试题，很有代表性，常在因内大大小小的社区内看到众人对此类问题的讨论。 学习最好的方式便是归纳总结、借鉴消化，基于这个目的，本文对此类问题也做了讲解，在一些优秀思想的基础上添加了个人观点。 闲话少说，进入正文，开始打家劫舍，看今晚收获几何？ 2. 线性盗贼 2.1 问题描述 一个专业的盗贼，计划偷打劫街的房屋。每间房内都藏有

2d
穷举
#include
原创 精选 8月前 316 阅读
C++ 算法进阶系列之再聊聊动态规划的两把刷子

C++ 算法进阶系列之再聊聊动态规划的两把刷子

1. 前言 递归和动态规划是算法界的两个扛把子，想进入算法之门，则必须理解、掌握这两种算法的本质。一旦参悟透这2种算法的精髓，再加上对树、图等复杂数据结构的深入理解，可以解决大部分的算法问题。 本文通过几个典型案例，再次聊聊动态规划算法。其实动态规划算法也就 2 把刷子。 找到当前子问题的所有可选择项，在所有选择项中选择最大值或最小值。 此子问题的最优解，作为下一个子问题的可选择项。最终推导出最

动态规划算法
动态规划
数组
原创 精选 9月前 307 阅读
C++不知算法系列之计数排序算法的计数之巧

C++不知算法系列之计数排序算法的计数之巧

1. 前言 计数排序是较简单的排序算法，其基本思想是利用数组索引号有序的原理。 如对如下的原始数组中的数据(元素)排序： //原始数组 int nums[5]={9,1,7,6,8}; 使用计数排序的基本思路如下： 创建一个排序数组。数组的大小由原始数组的最大值决定，如原始数组的最大值为9，则排序数组的长度为 9+1。为什么排序数组的长度需要如此设置，后文将做解释。 int sortNums

数组
c++
数据
原创 精选 10月前 332 阅读
C++ 线性数据结构系列之低调而强大的单调栈

C++ 线性数据结构系列之低调而强大的单调栈

1. 前言 单调栈是在栈基础上进行变化后的数据结构。除了遵循栈的先进后出的存储理念，在存储过程中还需保持栈中数据的有序性。 根据栈中数据排序的不同，单调栈分为： 单调递增栈：从栈顶部向栈的底部，数据呈递增排序。 单调递减栈：从栈顶部向栈的底部，数据呈递减排序。 现有数列[3,6,1,8,5]，如使用单调递增栈存储时，其输入、输出流程如下： 初始栈为空，数据3直接入栈。 因原始数列中的数

数据
入栈
单调栈
原创 精选 11月前 376 阅读
C++ 图进阶系列之剖析二分图的染色算法和匈牙利算法

C++ 图进阶系列之剖析二分图的染色算法和匈牙利算法

1. 前言 二分图又称作二部图或称为偶图，是图论中的一种特殊类型，有广泛的应用场景。 什么是二分图？ 二分图一般指无向图。看待问题要有哲学思想，有二分图也可以是有向图。 如果图中所有顶点集合能分成两个独立的子集，且任一子集中的任意顶点之间没有边连接，则称这样的图为二分图。 如下图中的图结构都可称为二分图。 二分图的特点： 理论而言，图中至少有一个环，如果图中无环，则图退化成树。在研

二分图
图结构
匈牙利算法
原创 精选 2023-05-16 12:53:24 310 阅读
C++ 树进阶系列之探讨深度搜索算法查找环的细枝末节

C++ 树进阶系列之探讨深度搜索算法查找环的细枝末节

1. 前言 对于基环树的讲解，分上、下 2 篇，上篇以理解连通分量、环以及使用深度搜索算法检查连通性和环为主，下篇以基于基环树结构的应用为主。 什么是基环树？ 所谓基环树指由n个节点n条边所构建而成的连通图。 如下图所示，树结构中共有 7 个节点， 6 条边。此时在树结构上添加一条边，必然会形成一个树环。因树结构中有环，故得此名。基环树也称为环套树。 如下图基环树结构中有 7 个节点，7 条边。

连通分量
入栈
搜索
原创 精选 2023-04-27 14:40:59 302 阅读 1收藏
C++ 算法进阶系列之剖析树型动态规划算法思想

C++ 算法进阶系列之剖析树型动态规划算法思想

1. 前言 什么是树型动态规划？ 概念中有 2 个子概念： 一个是动态规划概念。动态规划可以简单理解为通过对已经计算出来的子问题的状态值进行修改(基于子问题的状态值找到当前子问题的最优值)而得到当前子问题的状态值。 Tips： 本文侧重于动态规划在树型结构中的应用，更多关于动态规划的基础理论和常规知识，可以翻阅相关资料。 树指树数据结构。树型动态规划算法指在树逻辑结构之上提供的动态规划思

动态规划
树型动态规划
结点
原创 精选 2023-04-21 09:22:43 331 阅读
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