继续是线性代数的学习笔记，第三节课乘法和逆矩阵
矩阵乘法
首先是对于矩阵相乘，如矩阵A和B相乘得到C，即A*B=C;那么如果要得到矩阵C的一个元素，如
c34
,其求解如下所示：
这里的n是矩阵A的列数，也是矩阵B的行数，所以两者要能相乘得到矩阵C，其要满足矩阵A的大小是
m*n，而B的大小是
n*p，这样得到的矩阵C的大小就是
m*p。
所以矩阵相乘的条件是：
- 如果不是方阵，第一个矩阵的列数要等于第二个矩阵的行数。
-
如果是方阵，则两者必须大小相同。
除了上述方法来进行矩阵相乘外，还是有其他方法的。第二种方法就是整列考虑，也就是变成矩阵乘以向量的方法，就是第一节中提到的方法。
比如对于上述例子，矩阵A乘以矩阵B的第一列会得到矩阵C的第一列，以此类推，就可以得到一个完整的矩阵C，那么矩阵C的每一列都是矩阵A中列的线性组合。
第三种方法就是根据行向量了，即A的每一行乘以矩阵B得到C对应的行，那么C中每一行就是B的行的线性组合。
第四种方法就是使用A的一列乘以B的一行，同样可以得到矩阵C。一个例子如下所示：
第五种方法就是分块方法。将矩阵A和矩阵B分别分成若干块，每块大小不需要一定相同，但是必须满足矩阵相乘的条件。其分块乘法规则就是相当于构建一个新的矩阵相乘。例子如下所示：将矩阵A、B都分成4块，如下所示，
则矩阵A、B相乘得到的C为 [A1B1+A2B3A3B1+A4B2A1B2+A2B4A3B2+A4B4]
逆
接下来介绍逆矩阵的内容。令I表示单位矩阵，则若方阵A可逆，即有逆矩阵 A−1 ，则有 AA−1=A−1A=I 成立，同时矩阵A被称为可逆的，或者非奇异的矩阵。
这里要注意公式一定成立的前提是A必须是一个方阵。
奇异矩阵
首先介绍如何判断奇异矩阵，也就是不可逆的矩阵。
对于一个矩阵 A ,如果可以找到一个非零向量X,使得 AX=0 成立，则矩阵 A 是不可逆的。
所以，假设有一个不可逆的矩阵A=[1236],可以找到一个非零向量 X=[3−1] ，使得 AX=0 。
可逆矩阵
对于一个可逆矩阵A，我们应该如何找到其逆矩阵 A−1 。这里将用到“Gaussian-Jordan”消元法。
假设有一个可逆矩阵
A=[1237]
，令其逆矩阵
A−1=[abcd]
,因为
AA−1=I=[1001]
,也就是有：
而利用“Gaussian-Jordan”消元法来解，有如下过程，其中使用到增广矩阵的知识：
对于上述消元过程，首先第一步给出的矩阵 [12371001] ,就是一个增广矩阵，它用中间的一条竖线分为左右两部分，左边就是矩阵 A ，右边部分就是单位矩阵I,然后首先是令第二行减去第一行乘以2后的结果，也就是中间部分的矩阵，此时矩阵A部分的第二行变成 [0 1] 了，然后就是让第一行减去第二行乘以3的结果，得到最后一个矩阵，此时可以发现左边就是一个单位矩阵 I ，而右边就是我们需要的结果A−1，这里可以令 AA−1 来验证是否等于单位矩阵，从而判断得到的是否就是矩阵A的逆矩阵。
