矩阵、行列式差异

矩阵

行列式

运算结果

可看成一个表格

可看成一个数

行列数

可以不等

必须相等

 两个矩阵（或行列式）相等

每个元素对应相等

结果相等即可

相加

各对应元素相加

一行（或列）元素相加

数乘矩阵

常数k乘每个元素

常数k乘一行（或列）

交换两行（或列）

不变号

变号

行（或列）×k加至另一行（或列）

不变号

初等变换

秩不变

数值可能改变

矩阵（行列式）某行乘菲0常数k

秩不变

数值改变

行列式
初等变换：           
        1）行变换：交换两行（列）。
        2）倍法变换：将行列式的某一行（列）的所有元素乘以常数k。
        3）消法变换：把行列式的某一行（列）的所有元素乘以非零常数k并加到另一
                                行（列）的对应元素上。
性质：        
        1）行列互换，行列式不变，得出转置行列式（即行列式转置，值不变）
        2）行列式两行相同，行列式为0
        3）如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个
              行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样
        4）行列式中两行成比例，行列式为0
逆序数
        一个排列中逆序的总数（若逆序数为奇数则为奇排列，偶数则为偶排列）
排列
        对换改变排列的奇偶性
        正在n阶排列中奇、偶排列个数相等，各有n！/2
行列式展开
        行列式等于某一行的元素分别与他们的代数余子式的乘积之和
在行列式中，一行的元素与另一行相应元素的代数余子式乘积之和为0
常见的行列式种类
        范德蒙行列式、克拉默法则
矩阵
1）  矩阵满足的运算
         加法结合律、交换律、分配律；乘法结合律、分配律；消去律不成立。
2）  矩阵相等
         只有完全一致的矩阵才叫做相等。
3）  矩阵加法： 
        同型矩阵(相同的行数、列数)对应元素相加。
4）   秩(A+B)<=秩(A)+秩(B)           |AB|=|A| · |B|
        乘积的秩不超过各因子的秩    秩(AB) <= min[秩(A)，秩(B)]
5）   数量矩阵
        常数k乘矩阵A即为k乘以矩阵的每个元素，结果kA称为数量矩阵（一个n阶矩阵与
        所有n阶矩阵做乘法是可交换的）数量矩阵的加法和乘法完全归结为数的加法和乘法。
6）   转置：
        把一矩阵A的行列互换，所得到的矩阵成为A的转置，记为AT
7）    常用转置公式：
        (AT)T = A、(A+B)T=AT+BT、(AB)T=BTAT、(kA)T=kAT
8） 如果|A|!=0,数域P上的n*n矩阵称为非退化(充要条件：秩等于n)，否则称为退化(矩
         阵AB为退化的充要条件是A、B其中至少有一个是退化的)。
）矩阵的逆：
        如果存在B使得AB =BA=E，则称A是可逆的。 ( A⁻¹)T=(AT)⁻¹        (AB)⁻¹=B⁻¹A⁻¹
        伴随矩阵：
        由代数余子式组成的矩阵称为伴随矩阵。
         求逆矩阵方法：
       （一）伴随矩阵发法               A⁻¹=1/|A| × A*            
       （二）将原矩阵后接着写同行单位矩阵，将原矩阵变为单位矩阵后，后面的单
                   位矩阵变为对应矩阵的逆矩阵
       （三）定义求法       设出一矩阵后与原矩阵相乘=单位矩阵，解出对应等式
10） 两个互相可逆的矩阵相乘=单位矩阵，他们对应的行列式相乘=1
11） 初等矩阵（其逆矩阵还是初等矩阵）:
        由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵
12） 如果B可以有A经过一系列初（行/列）等变换得到，则矩阵B与A称为（行/列）等价的