样条插值是一种工业设计中常用的、得到平滑曲线的一种插值方法，三次样条又是其中用的较为广泛的一种。本篇介绍力求用容易理解的方式，介绍一下三次样条插值的原理，并附C语言的实现代码。
1. 三次样条曲线原理
假设有以下节点
1.1 定义
样条曲线 
a. 在每个分段区间 
b. 满足 
c. 
所以n个三次多项式分段可以写作：
其中ai, bi, ci, di代表4n个未知系数。
1.2 求解
已知:
a. n+1个数据点[xi, yi], i = 0, 1, …, n
b. 每一分段都是三次多项式函数曲线
c. 节点达到二阶连续
d. 左右两端点处特性（自然边界，固定边界，非节点边界）
根据定点，求出每段样条曲线方程中的系数，即可得到每段曲线的具体表达式。
插值和连续性：
微分连续性：
样条曲线的微分式：
将步长
带入样条曲线的条件：
a. 由 
b. 由 
c. 由 
由此可得：
d. 由 
设 
a. 
b. 将ci, di带入 
c. 将bi, ci, di带入 
端点条件
由i的取值范围可知，共有n-1个公式， 但却有n+1个未知量m 。要想求解该方程组，还需另外两个式子。所以需要对两端点x0和xn的微分加些限制。 选择不是唯一的，3种比较常用的限制如下。
a. 自由边界(Natural)
首尾两端没有受到任何让它们弯曲的力，即 
则要求解的方程组可写为：
b. 固定边界(Clamped)
首尾两端点的微分值是被指定的，这里分别定为A和B。则可以推出
将上述两个公式带入方程组，新的方程组左侧为
c. 非节点边界(Not-A-Knot)
指定样条曲线的三次微分匹配，即
根据 
新的方程组系数矩阵可写为：
右下图可以看出不同的端点边界对样条曲线的影响：
1.3 算法总结
假定有n+1个数据节点
a. 计算步长 
b. 将数据节点和指定的首位端点条件带入矩阵方程
c. 解矩阵方程，求得二次微分值
。该矩阵为三对角矩阵，具体求法参见我的上篇文章：三对角矩阵的求解。
d. 计算样条曲线的系数：
其中i = 0, 1, …, n-1
e. 在每个子区间 
2. C语言实现
用C语言写了一个三次样条插值(自然边界)的S-Function，代码如下：
View Code
#define S_FUNCTION_NAME cubic
#define S_FUNCTION_LEVEL 2
#include "simstruc.h"
#include "malloc.h" //方便使用变量定义数组大小
static void mdlInitializeSizes(SimStruct *S)
{
/*参数只有一个，是n乘2的定点数组[xi, yi]:
* [ x1，y1;
* x2, y2;
* ..., ...;
* xn, yn;
*/
ssSetNumSFcnParams(S, 1);
if (ssGetNumSFcnParams(S) != ssGetSFcnParamsCount(S)) return;
ssSetNumContStates(S, 0);
ssSetNumDiscStates(S, 0);
if (!ssSetNumInputPorts(S, 1)) return; //输入是x
ssSetInputPortWidth(S, 0, 1);
ssSetInputPortRequiredContiguous(S, 0, true);
ssSetInputPortDirectFeedThrough(S, 0, 1);
if (!ssSetNumOutputPorts(S, 1)) return; //输出是S(x)
ssSetOutputPortWidth(S, 0, 1);
ssSetNumSampleTimes(S, 1);
ssSetNumRWork(S, 0);
ssSetNumIWork(S, 0);
ssSetNumPWork(S, 0);
ssSetNumModes(S, 0);
ssSetNumNonsampledZCs(S, 0);
ssSetSimStateCompliance(S, USE_DEFAULT_SIM_STATE);
ssSetOptions(S, 0);
}
static void mdlInitializeSampleTimes(SimStruct *S)
{
ssSetSampleTime(S, 0, CONTINUOUS_SAMPLE_TIME);
ssSetOffsetTime(S, 0, 0.0);
}
#define MDL_INITIALIZE_CONDITIONS
#if defined(MDL_INITIALIZE_CONDITIONS)
static void mdlInitializeConditions(SimStruct *S)
{
}
#endif
#define MDL_START
#if defined(MDL_START)
static void mdlStart(SimStruct *S)
{
}
#endif /* MDL_START */
static void mdlOutputs(SimStruct *S, int_T tid)
{
const real_T *map = mxGetPr(ssGetSFcnParam(S,0)); //获取定点数据
const int_T *mapSize = mxGetDimensions(ssGetSFcnParam(S,0)); //定点数组维数
const real_T *x = (const real_T*) ssGetInputPortSignal(S,0); //输入x
real_T *y = ssGetOutputPortSignal(S,0); //输出y
int_T step = 0; //输入x在定点数中的位置
int_T i;
real_T yval;
for (i = 0; i < mapSize[0]; i++)
{
if (x[0] >= map[i] && x[0] < map[i + 1])
{
step = i;
break;
}
}
cubic_getval(&yval, mapSize, map, x[0], step);
y[0] = yval;
}
//自然边界的三次样条曲线函数
void cubic_getval(real_T* y, const int_T* size, const real_T* map, const real_T x, const int_T step)
{
int_T n = size[0];
//曲线系数
real_T* ai = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1));
real_T* bi = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1));
real_T* ci = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1));
real_T* di = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1));
real_T* h = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-1)); //x的??
/* M矩阵的系数
*[B0, C0, ...
*[A1, B1, C1, ...
*[0, A2, B2, C2, ...
*[0, ... An-1, Bn-1]
*/
real_T* A = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2));
real_T* B = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2));
real_T* C = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2));
real_T* D = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2)); //等号右边的常数矩阵
real_T* E = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n-2)); //M矩阵
real_T* M = (real_T*)malloc(sizeof(real_T) * (n)); //包含端点的M矩阵
int_T i;
//计算x的步长
for ( i = 0; i < n -1; i++)
{
h[i] = map[i + 1] - map[i];
}
//指定系数
for( i = 0; i< n - 3; i++)
{
A[i] = h[i]; //忽略A[0]
B[i] = 2 * (h[i] + h[i+1]);
C[i] = h[i+1]; //忽略C(n-1)
}
//指定常数D
for (i = 0; i<n - 3; i++)
{
D[i] = 6 * ((map[n + i + 2] - map[n + i + 1]) / h[i + 1] - (map[n + i + 1] - map[n + i]) / h[i]);
}
//求解三对角矩阵，结果赋值给E
TDMA(E, n-3, A, B, C, D);
M[0] = 0; //自然边界的首端M为0
M[n-1] = 0; //自然边界的末端M为0
for(i=1; i<n-1; i++)
{
M[i] = E[i-1]; //其它的M值
}
//?算三次?条曲?的系数
for( i = 0; i < n-1; i++)
{
ai[i] = map[n + i];
bi[i] = (map[n + i + 1] - map[n + i]) / h[i] - (2 * h[i] * M[i] + h[i] * M[i + 1]) / 6;
ci[i] = M[i] / 2;
di[i] = (M[i + 1] - M[i]) / (6 * h[i]);
}
*y = ai[step] + bi[step]*(x - map[step]) + ci[step] * (x - map[step]) * (x - map[step]) + di[step] * (x - map[step]) * (x - map[step]) * (x - map[step]);
free(h);
free(A);
free(B);
free(C);
free(D);
free(E);
free(M);
free(ai);
free(bi);
free(ci);
free(di);
}
void TDMA(real_T* X, const int_T n, real_T* A, real_T* B, real_T* C, real_T* D)
{
int_T i;
real_T tmp;
//上三角矩阵
C[0] = C[0] / B[0];
D[0] = D[0] / B[0];
for(i = 1; i<n; i++)
{
tmp = (B[i] - A[i] * C[i-1]);
C[i] = C[i] / tmp;
D[i] = (D[i] - A[i] * D[i-1]) / tmp;
}
//直接求出X的最后一个值
X[n-1] = D[n-1];
//逆向迭代， 求出X
for(i = n-2; i>=0; i--)
{
X[i] = D[i] - C[i] * X[i+1];
}
}
#define MDL_UPDATE
#if defined(MDL_UPDATE)
static void mdlUpdate(SimStruct *S, int_T tid)
{
}
#endif
#define MDL_DERIVATIVES
#if defined(MDL_DERIVATIVES)
static void mdlDerivatives(SimStruct *S)
{
}
#endif
static void mdlTerminate(SimStruct *S)
{
}
#ifdef MATLAB_MEX_FILE
#include "simulink.c"
#else
#include "cg_sfun.h"
#endif
3. 例子
以y=sin(x)为例, x步长为1，x取值范围是[0,10]。对它使用三次样条插值，插值前后对比如下：
