1设计目的、要求
对龙格函数在区间[-1,1]上取的等距节点，分别作多项式插值、三次样条插值和三次曲线拟合，画出及各逼近函数的图形，比较各结果。
2设计原理
（1） 多项式插值：利用拉格朗日多项式插值的方法，其主要原理是拉格朗日多项式，即：
表示待插值函数的个节点，
，其中；
（2） 三次样条插值：三次样条插值有三种方法，在本例中，我们选择第一边界条件下的样条插值，即两端一阶导数已知的插值方法：
（3）三次曲线拟合：本题中采用最小二乘法的三次多项式拟合。最小二乘拟合是利用已知的数据得出一条直线或者曲线，使之在坐标系上与已知数据之间的距离的平方和最小。在本题中，n= 10，故有11个点，以这11个点的和值为已知数据，进行三次多项式拟合，设该多项式为，该拟合曲线只需的值最小即可。
3采用软件、设备
计算机、matlab软件
4设计内容
1、多项式插值：
在区间上取的等距节点，带入拉格朗日插值多项式中，求出各个节点的插值，并利用matlab软件建立m函数，画出其图形。
在matlab中建立一个lagrange.m文件，里面代码如下：
%lagrange 函数
functiony=lagrange(x0,y0,x)
n=length(x0);m=length(x);
for i=1:m
z=x(i);
s=0.0;
for k=1:n
p=1.0;
for j=1:n
if j~=k
p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));
end
end
s=p*y0(k)+s;
end
y(i)=s;
end
建立一个polynomial.m文件，用于多项式插值的实现，代码如下：
%lagrange插值
x=[-1:0.2:1];
y=1./(1+25*x.^2);
x0=[-1:0.02:1];
y0=lagrange(x,y,x0);
y1=1./(1+25*x0.^2);
plot(x0,y0,'--r')
%插值曲线
hold on
%原曲线
plot(x0,y1,'-b')
运行duoxiangshi.m文件，得到如下图形：
2、三次样条插值：
所谓三次样条插值多项式是一种分段函数，它在节点分成的每个小区间上是3次多项式，其在此区间上的表达式如下：
因此，只要确定了的值，就确定了整个表达式，的计算方法如下：
令：
则满足如下个方程：
对于第一种边界条件下有
如果令那么解就可以为
求函数的二阶导数：
>> syms x
>> f=sym(1/(1+25*x^2))
f =
1/(1+25*x^2)
>> diff(f)
ans =
-(50*x)/(25*x^2 + 1)^2将函数的两个端点，代入上面的式子中：
f’(-1)= 0.0740
f’(1)=-0.0740f’(-1)= 0.0740
f’(1)=-0.0740
求出从-1到1的n=10的等距节点，对应的x，y值
对应m文件代码如下：
for x=-1:0.2:1
y=1/(1+25*x^2)
end
y =
得出
x=-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
y=0.0385 0.0588 0.1 0.2 0.5 1 0.5 0.2 0.1 0.0588 0.0385
编写m文件Three_Spline.m
x=linspace(-1,1,11);
y=1./(1+25*x.^2);
[m,p]=scyt1(x,y,0.0740,-0.0740);
hold on
x0=-1:0.01:1;
y0=1./(1+25*x0.^2);
plot(x0,y0,'--b')得到如下图像：
.
其中蓝色曲线为原图，红色曲线为拟合后的图像。
3、三次曲线拟合：
这里我们使用最小二乘法的3次拟合
建立一个Three_fitting .m文件，代码如下：
%主要代码
x=[-1-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1];
y=[0.03850.0588 0.1 0.2 0.5 1 0.5 0.2 0.1 0.0588 0.0385];
a=polyfit(x,y,3);
x1=[-1:0.01:1];
y1=a(4)+a(3)*x1+a(2)*x1.^2+a(1)*x1.^3;
x0=[-1:0.01:1];
y0=1./(1+25*x0.^2)
%原曲线
plot(x0,y0,'-r')
holdon
%三次拟合曲线
plot(x1,y1,'-b')
上图中，蓝色部分为三次拟合曲线，红色部分为原曲线
6结果分析
拉格朗日插值的优点是对于某一区域，不限于被估计点周围，公式简单易实施。一般认为n的次数越高，逼近的精度就越好，但在本题中，对龙格函数，中间部分插值效果比较好，而对于两端，插值结果是非常不理想的，即龙格现象。样条函数可以给出光滑的插值曲线，从本题中就能体现出来。从以上图形可以看出，三次样条插值的图形是比较逼近于原图的，收敛性相对而言是非常好的，但在本题中，仅将原区间分成10个等距区间，因此，逼近效果还不是特别理想，当我们将n增大时，插值后的曲线越逼近于原曲线。总的来说，三次样条插值的稳定性比较好，收敛性比较强。
在这三种方法中，三次曲线拟合的效果是最差的，所得的图形与原曲线差距甚远。最小二乘法中，并不要求拟合后的曲线经过所有已知的点，只需要拟合多项式上的点在某种标准上与定点之间的差距最小即可，因此与原曲线的逼近程度是最差的。最小二乘法的多项式拟合只适用于多项式，而本题中的函数并不是一个多项式，因此，不建议使用最小二乘法拟合。
参考文献:
[1] 李庆扬 王能超等.数值分析[M].清华大学出版社
[2] 吴振远.科学计算实验指导书 基于MATLAB数值分析[M]. 中国地质大学出版社
[3] 宋叶志. MATLAB数值分析与应用[M].机械工业出版社 , 2009.07
附录
三次样条插值主要代码：
function [m,p]=scyt1(x,y,df0,dfn)
n=length(x);
r=ones(n-1,1);
u=ones(n-1,1);
d=ones(n,1);
r(1)=1;
d(1)=6*((y(2)-y(1))/(x(2)-x(1))-df0)/(x(2)-x(1));
u(n-1)=1;
d(n)=6*(dfn-(y(n)-y(n-1))/(x(n)-x(n-1)))/(x(n)-x(n-1));
for k=2:n-1
u(k-1)=(x(k)-x(k-1))/(x(k+1)-x(k-1)); r(k)=(x(k+1)-x(k))/(x(k+1)-x(k-1));
d(k)=6*((y(k+1)-y(k))/(x(k+1)-x(k))-(y(k)-y(k-1))/(x(k)-x(k-1)))/(x(k+1)-x(k-1));
end
A=eye(n,n)*2;
for k=1:n-1
A(k,k+1)=r(k);
A(k+1,k)=u(k);
end
m=A\d;
ft=d(1);
syms t
for k=1:n-1 %求s(x)即插值多项式
p(k,1)=m(k)/(6*(x(k+1)-x(k)));
p(k,2)=m(k+1)/(6*(x(k+1)-x(k)));
p(k,3)=(y(k)-m(k)*(x(k+1)-x(k))^2/6)/(x(k+1)-x(k));
p(k,4)=(y(k+1)-m(k+1)*(x(k+1)-x(k))^2/6)/(x(k+1)-x(k));
sx(k)=p(k,1)*(x(k+1)-t)^3+p(k,2)*(t-x(k))^3+p(k,3)*(x(k+1)-t)+p(k,4)*(t-x(k));
end
kmax=1000;
xt=linspace(x(1),x(n),kmax);
for i=1:n-1 %出点xt对应的y值
for k=1:kmax
if x(i)<=xt(k)&xt(k)<=x(i+1)
fx(k)=subs(sx(i),xt(k));
end
end
end
plot(xt,fx,'r'); xlabel('x');
ylabel('y'); title('f');
text(x(fix(n/2)),y(fix(n/2)),'f')
hold on
plot(x,y,'*')
hold off
