文章目录
- 前言
- 引入
- 二次样条的原理
- 二次样条代码实现
- 三次样条的原理
- 三次样条代码实现
前言
当已知某些点而不知道具体方程时候，最经常遇到的场景就是做实验，采集到数据的时候，我们通常有两种做法：拟合或者插值。拟合不要求方程通过所有的已知点，讲究神似，就是整体趋势一致。插值则是形似，每个已知点都必会穿过，但是高阶会出现龙格库塔现象，所以一般采用分段插值。今天我们就来说说这个分段三次样条插值。
引入
首先我们先抛开众多的回归算法不谈， 我们对于给出如下的离散的数据点，现在想根据如下的数据点来推测 x=6 时的值，我们应该采用什么方法呢？
用于拟合样条函数的数据
x | f(x) |
3.0 | 2.5 |
4.5 | 1.0 |
7.0 | 2.5 |
9.0 | 0.5 |
我们知道在平面上两个点确定一条直线，三个点确定一条抛物线（假设曲线的类型是抛物线），那么现在有四个点，我们很自然的会想到，既然两个点确定一条直线，那么最简单的方法就是，两个点之间连一条线，两个点之间连一条线，最后得到的一种折线图如下：这样我们只要确定 x=6 时的直线，把自变量的值带进去，就显然会得到预测的函数值。但是，这种方法显然具有很明显的缺陷：曲线不够光滑，连接点处的斜率变化过大。可能会导致函数的一阶导数不连续。那么我们应该如何解决这个问题呢？
二次样条的原理
我们会想到既然直线不行，那么我们就用曲线来近似的代替和描述。最简单的曲线是二次函数，如果我们用二次函数：
如下所示：一共有四个点，三个区间，每个区间上都有一个方程。
- 曲线方程在节点处的值必须相等，即函数在x1,x2两个点处的值必须符合两个方程，这里一共是4个方程：
- 第一个端点和最后一个端点必须过第一个和最后一个方程：这里一共是2个方程
- 节点处的一阶导数的值必须相等。这里为两个方程。
- 在这里假设第一个方程的二阶导数为0：这里为一个方程：
上面是对应的9个方程，现在只要把九个方程联立求解，最后就可以实现预测 x=6 处节点的值。
下面是写成矩阵的形式,由于a1=0，所以未知数的个数少了一个
二次样条代码实现
下面是二次样条的python实现，最后将结果绘制在图上。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from pylab import mpl
"""
二次样条实现：
函数x的自变量为:3, 4.5, 7, 9
因变量为：2.5, 1 2.5, 0.5
"""
x = [3, 4.5, 7, 9]
y = [2.5, 1, 2.5, 0.5]
"""一共有三个区间，用二次样条求解，需要有9个方程"""
"""
功能：完后对二次样条函数求解方程参数的输入
参数：要进行二次样条曲线计算的自变量
返回值：方程的参数
"""
def calculateEquationParameters(x):
#parameter为二维数组，用来存放参数，sizeOfInterval是用来存放区间的个数
parameter = []
sizeOfInterval=len(x)-1;
i = 1
#首先输入方程两边相邻节点处函数值相等的方程为2n-2个方程
while i < len(x)-1:
data = init(sizeOfInterval*3)
data[(i-1)*3]=x[i]*x[i]
data[(i-1)*3+1]=x[i]
data[(i-1)*3+2]=1
data1 =init(sizeOfInterval*3)
data1[i * 3] = x[i] * x[i]
data1[i * 3 + 1] = x[i]
data1[i * 3 + 2] = 1
temp=data[1:]
parameter.append(temp)
temp=data1[1:]
parameter.append(temp)
i += 1
#输入端点处的函数值。为两个方程,加上前面的2n-2个方程，一共2n个方程
data = init(sizeOfInterval*3-1)
data[0] = x[0]
data[1] = 1
parameter.append(data)
data = init(sizeOfInterval *3)
data[(sizeOfInterval-1)*3+0] = x[-1] * x[-1]
data[(sizeOfInterval-1)*3+1] = x[-1]
data[(sizeOfInterval-1)*3+2] = 1
temp=data[1:]
parameter.append(temp)
#端点函数值相等为n-1个方程。加上前面的方程为3n-1个方程,最后一个方程为a1=0总共为3n个方程
i=1
while i < len(x) - 1:
data = init(sizeOfInterval * 3)
data[(i - 1) * 3] =2*x[i]
data[(i - 1) * 3 + 1] =1
data[i*3]=-2*x[i]
data[i*3+1]=-1
temp=data[1:]
parameter.append(temp)
i += 1
return parameter
"""
对一个size大小的元组初始化为0
"""
def init(size):
j = 0;
data = []
while j < size:
data.append(0)
j += 1
return data
"""
功能：计算样条函数的系数。
参数：parametes为方程的系数，y为要插值函数的因变量。
返回值：二次插值函数的系数。
"""
def solutionOfEquation(parametes,y):
sizeOfInterval = len(x) - 1;
result = init(sizeOfInterval*3-1)
i=1
while i<sizeOfInterval:
result[(i-1)*2]=y[i]
result[(i-1)*2+1]=y[i]
i+=1
result[(sizeOfInterval-1)*2]=y[0]
result[(sizeOfInterval-1)*2+1]=y[-1]
a = np.array(calculateEquationParameters(x))
b = np.array(result)
return np.linalg.solve(a,b)
"""
功能：根据所给参数，计算二次函数的函数值：
参数:parameters为二次函数的系数，x为自变量
返回值：为函数的因变量
"""
def calculate(paremeters,x):
result=[]
for data_x in x:
result.append(paremeters[0]*data_x*data_x+paremeters[1]*data_x+paremeters[2])
return result
"""
功能：将函数绘制成图像
参数：data_x,data_y为离散的点.new_data_x,new_data_y为由拉格朗日插值函数计算的值。x为函数的预测值。
返回值：空
"""
def Draw(data_x,data_y,new_data_x,new_data_y):
plt.plot(new_data_x, new_data_y, label="拟合曲线", color="black")
plt.scatter(data_x,data_y, label="离散数据",color="red")
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.title("二次样条函数")
plt.legend(loc="upper left")
plt.show()
result=solutionOfEquation(calculateEquationParameters(x),y)
new_data_x1=np.arange(3, 4.5, 0.1)
new_data_y1=calculate([0,result[0],result[1]],new_data_x1)
new_data_x2=np.arange(4.5, 7, 0.1)
new_data_y2=calculate([result[2],result[3],result[4]],new_data_x2)
new_data_x3=np.arange(7, 9.5, 0.1)
new_data_y3=calculate([result[5],result[6],result[7]],new_data_x3)
new_data_x=[]
new_data_y=[]
new_data_x.extend(new_data_x1)
new_data_x.extend(new_data_x2)
new_data_x.extend(new_data_x3)
new_data_y.extend(new_data_y1)
new_data_y.extend(new_data_y2)
new_data_y.extend(new_data_y3)
Draw(x,y,new_data_x,new_data_y)二次样条函数运行之后的结果如下，从图像中，我们可以看出，二次样条在函数的连接处的曲线是光滑的。这时候，我们将x=5输入到函对应的函数端中，就可以预测相应的函数值。但是，这里还有一个问题，就是二次样条函数的前两个点是直线，而且函数的最后一个区间内看起来函数凸出很高。我们还想解决这些问题，这时候，我们想是否可以用三次样条函数来进行函数的模拟呢？
三次样条的原理
三次样条的原理和二次样条的原理相同，我们用函数
- 内部节点处的函数值应该相等，这里一共是4个方程。
- 函数的第一个端点和最后一个端点，应该分别在第一个方程和最后一个方程中。这里是2个方程。
- 两个函数在节点处的一阶导数应该相等。这里是两个方程。
- 两个函数在节点处的二阶导数应该相等，这里是两个方程。
- 端点处的二阶导数为零，这里是两个方程。
三次样条代码实现
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from pylab import mpl
"""
三次样条实现：
函数x的自变量为:3, 4.5, 7, 9
因变量为：2.5, 1 2.5, 0.5
"""
x = [3, 4.5, 7, 9]
y = [2.5, 1, 2.5, 0.5]
"""
功能：完后对三次样条函数求解方程参数的输入
参数：要进行三次样条曲线计算的自变量
返回值：方程的参数
"""
def calculateEquationParameters(x):
#parameter为二维数组，用来存放参数，sizeOfInterval是用来存放区间的个数
parameter = []
sizeOfInterval=len(x)-1;
i = 1
#首先输入方程两边相邻节点处函数值相等的方程为2n-2个方程
while i < len(x)-1:
data = init(sizeOfInterval*4)
data[(i-1)*4] = x[i]*x[i]*x[i]
data[(i-1)*4+1] = x[i]*x[i]
data[(i-1)*4+2] = x[i]
data[(i-1)*4+3] = 1
data1 =init(sizeOfInterval*4)
data1[i*4] =x[i]*x[i]*x[i]
data1[i*4+1] =x[i]*x[i]
data1[i*4+2] =x[i]
data1[i*4+3] = 1
temp = data[2:]
parameter.append(temp)
temp = data1[2:]
parameter.append(temp)
i += 1
# 输入端点处的函数值。为两个方程, 加上前面的2n - 2个方程，一共2n个方程
data = init(sizeOfInterval * 4 - 2)
data[0] = x[0]
data[1] = 1
parameter.append(data)
data = init(sizeOfInterval * 4)
data[(sizeOfInterval - 1) * 4 ] = x[-1] * x[-1] * x[-1]
data[(sizeOfInterval - 1) * 4 + 1] = x[-1] * x[-1]
data[(sizeOfInterval - 1) * 4 + 2] = x[-1]
data[(sizeOfInterval - 1) * 4 + 3] = 1
temp = data[2:]
parameter.append(temp)
# 端点函数一阶导数值相等为n-1个方程。加上前面的方程为3n-1个方程。
i=1
while i < sizeOfInterval:
data = init(sizeOfInterval * 4)
data[(i - 1) * 4] = 3 * x[i] * x[i]
data[(i - 1) * 4 + 1] = 2 * x[i]
data[(i - 1) * 4 + 2] = 1
data[i * 4] = -3 * x[i] * x[i]
data[i * 4 + 1] = -2 * x[i]
data[i * 4 + 2] = -1
temp = data[2:]
parameter.append(temp)
i += 1
# 端点函数二阶导数值相等为n-1个方程。加上前面的方程为4n-2个方程。且端点处的函数值的二阶导数为零，为两个方程。总共为4n个方程。
i = 1
while i < len(x) - 1:
data = init(sizeOfInterval * 4)
data[(i - 1) * 4] = 6 * x[i]
data[(i - 1) * 4 + 1] = 2
data[i * 4] = -6 * x[i]
data[i * 4 + 1] = -2
temp = data[2:]
parameter.append(temp)
i += 1
return parameter
"""
对一个size大小的元组初始化为0
"""
def init(size):
j = 0;
data = []
while j < size:
data.append(0)
j += 1
return data
"""
功能：计算样条函数的系数。
参数：parametes为方程的系数，y为要插值函数的因变量。
返回值：三次插值函数的系数。
"""
def solutionOfEquation(parametes,y):
sizeOfInterval = len(x) - 1;
result = init(sizeOfInterval*4-2)
i=1
while i<sizeOfInterval:
result[(i-1)*2]=y[i]
result[(i-1)*2+1]=y[i]
i+=1
result[(sizeOfInterval-1)*2]=y[0]
result[(sizeOfInterval-1)*2+1]=y[-1]
a = np.array(calculateEquationParameters(x))
b = np.array(result)
for data_x in b:
print(data_x)
return np.linalg.solve(a,b)
"""
功能：根据所给参数，计算三次函数的函数值：
参数:parameters为二次函数的系数，x为自变量
返回值：为函数的因变量
"""
def calculate(paremeters,x):
result=[]
for data_x in x:
result.append(paremeters[0]*data_x*data_x*data_x+paremeters[1]*data_x*data_x+paremeters[2]*data_x+paremeters[3])
return result
"""
功能：将函数绘制成图像
参数：data_x,data_y为离散的点.new_data_x,new_data_y为由拉格朗日插值函数计算的值。x为函数的预测值。
返回值：空
"""
def Draw(data_x,data_y,new_data_x,new_data_y):
plt.plot(new_data_x, new_data_y, label="拟合曲线", color="black")
plt.scatter(data_x,data_y, label="离散数据",color="red")
mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
mpl.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
plt.title("三次样条函数")
plt.legend(loc="upper left")
plt.show()
result=solutionOfEquation(calculateEquationParameters(x),y)
new_data_x1=np.arange(3, 4.5, 0.1)
new_data_y1=calculate([0,0,result[0],result[1]],new_data_x1)
new_data_x2=np.arange(4.5, 7, 0.1)
new_data_y2=calculate([result[2],result[3],result[4],result[5]],new_data_x2)
new_data_x3=np.arange(7, 9.5, 0.1)
new_data_y3=calculate([result[6],result[7],result[8],result[9]],new_data_x3)
new_data_x=[]
new_data_y=[]
new_data_x.extend(new_data_x1)
new_data_x.extend(new_data_x2)
new_data_x.extend(new_data_x3)
new_data_y.extend(new_data_y1)
new_data_y.extend(new_data_y2)
new_data_y.extend(new_data_y3)
Draw(x,y,new_data_x,new_data_y)
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