多目标决策 目标函数权重法

目录

一、最大最小化模型

1、一般数学模型 

2、典型例题

3、模型的求解

二、多目标规划问题

1、多目标规划问题概述

2、典型例题

3、代码块

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一、最大最小化模型

1、一般数学模型 

2、典型例题

%% 最大最小化模型  :   min{max[f1,f2,···,fm]}
x0 = [6, 6];      % 给定初始值
lb = [3, 4];  % 决策变量的下界
ub = [8, 10];  % 决策变量的上界
[x,feval] = fminimax(@Fun,x0,[],[],[],[],lb,ub)
max(feval)
% x =
%     8.0000    8.5000
% feval =
%    13.5000    5.5000    5.5000   12.5000    8.5000    8.5000    5.5000   13.5000    9.5000    0.5000
% 结论：
% 在坐标为(8,8.5)处建立供应中心可以使该点到各需求点的最大距离最小，最小的最大距离为13.5单位。

3、模型的求解

二、多目标规划问题

1、多目标规划问题概述

         若一个规划问题中有多个目标，例如企业在保证利润最大时，也要保证生产时产生的污染最少，这种情况下我们可以对多目标函数进行加权组合，使问题变为单目标规划，如何再利用之前学的知识进行求解。

注意：

        1、要将多个目标函数统一为最大化或者最小化问题后才能进行加权组合。

        2、如果目标函数的量纲不相同，则需要对其进行标准化后再进行加权，标准化的方法一般是用目标函数除以某一个常量，该常量是这个目标函数的某个取值，具体取值可根据经验确定。

        3、对多目标函数进行加权求和时，权重需要由该问题领域的专家给定，实际建模时，若无特殊说明，我们令权重相同。

2、典型例题

        下面我们对结果进行敏感性分析，敏感性分析是指从定量分析的角度研究有关因素发生某种变化对某一个或一组关键指标影响程度的一种不确定分析技术。其实质是通过逐一改变相关变量数值的方法来解释关键指标受这些因素变动影响大小的规律。

 3、代码块

%%  多目标规划问题
w1 = 0.4;  w2 = 0.6;  % 两个目标函数的权重  x1 = 5  x2 = 2
w1 = 0.5;  w2 = 0.5;  % 两个目标函数的权重  x1 = 5  x2 = 2
w1 = 0.3;  w2 = 0.7;  % 两个目标函数的权重  x1 = 1  x2 = 6
c = [w1/30*2+w2/2*0.4 ;w1/30*5+w2/2*0.3];  % 线性规划目标函数的系数
A = [-1 -1];  b = -7; % 不等式约束
lb = [0 0]'; ub = [5 6]'; % 上下界
[x,fval] = linprog(c,A,b,[],[],lb,ub)
f1 = 2*x(1)+5*x(2)
f2 = 0.4*x(1) + 0.3*x(2)


%% 敏感性分析
clear;clc
W1 = 0.1:0.001:0.5;  W2 = 1- W1;  
n =length(W1);
F1 = zeros(n,1);  F2 = zeros(n,1);   X1 = zeros(n,1);  X2 = zeros(n,1);   FVAL = zeros(n,1);
A = [-1 -1];  b = -7; % 不等式约束
lb = [0 0]; ub = [5 6]; % 上下界
for i = 1:n
    w1 = W1(i);  w2 = W2(i);
    c = [w1/30*2+w2/2*0.4 ;w1/30*5+w2/2*0.3];  % 线性规划目标函数的系数
    [x,fval] = linprog(c,A,b,[],[],lb,ub);
    F1(i) = 2*x(1)+5*x(2);
    F2(i) = 0.4*x(1) + 0.3*x(2);
    X1(i) = x(1);
    X2(i) = x(2);
    FVAL(i) = fval;
end

% 「Matlab」“LaTex字符汇总”讲解：
% 在图上可以加上数据游标，按住Alt加鼠标左键可以设置多个数据游标出来。
figure(1) 
plot(W1,F1,W1,F2)
xlabel('f_{1}的权重') 
ylabel('f_{1}和f_{2}的取值')
legend('f_{1}','f_{2}')

figure(2)
plot(W1,X1,W1,X2)
xlabel('f_{1}的权重') 
ylabel('x_{1}和x_{2}的取值')
legend('x_{1}','x_{2}')

figure(3)
plot(W1,FVAL)  % 看起来是两个直线组合起来的下半部分
xlabel('f_{1}的权重') 
ylabel('综合指标的值')

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参考：清风数学建模课程+【课本】司守奎 《数学建模算法与应用》 第二版，仅作为个人笔记。